ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים

מערכות לינאריות y′=Ay

Linear Systems y′=Ay

מפרקים את תנאי ההתחלה לאופנים עצמיים. כל אופן מקבל גורם e^(λt), וסימן החלק הממשי של λ קובע גדילה, דעיכה או סיבוב.

יחידת לימוד עצמאיתשיעור 3 מתוך 5כ־70 דקות כולל תרגול3 מטרות למידה

1
נקודת פתיחהמה כבר ידוע ומה השאלה?
2
ניבוימה יקרה במקרה הפשוט?
3
המחשהמה באמת משתנה בתמונה?
4
ניסוח והצדקהשם, נוסחה ולמה היא נכונה
5
בדיקהדוגמה, תרגול ומשוב
6
העברהמקרה חדש והמשך המסלול

שאלה לפני נוסחה

מה אנחנו מנסים לראות?

לפתור מערכת y′=Ay מתנאי התחלה, לסווג את דיוקן הפאזה לפי הערכים העצמיים, ולהסביר מה מוסיפים ערכים מרוכבים ומטריצה חסרה.

כל וקטור עצמי הוא מסלול ישר של המערכת: אם מתחילים עליו, נשארים עליו. תנאי התחלה כללי הוא תערובת של מסלולים כאלה. הזמן אינו מערבב אותם מחדש — הוא רק מגביר או מחליש כל אופן בקצב שלו.

לפני ההמחשה: קראו רק את הכותרת “כל ערך עצמי כותב חלק אחר של המסלול”. מה לדעתכם ישתנה, מה יישאר קבוע, ואיזה סימן בתמונה יוכל להפריך את הניבוי?

לראות לפני שמחשבים · המקרה הפשוט ביותר

כל ערך עצמי כותב חלק אחר של המסלול

עקבו מהצורה הראשונית אל התוצאה

האיור מציג שני אופנים של דוגמת העוגן ואת סכומם בזמן.

מה כדאי לגלות: בתחילה שני האופנים נראים יחד. כש־t גדל, e^(6t) צומח מהר מ־e^(2t), ולכן המסלול מתיישר לכיוון v₂.

אחרי שראינו

בסוף השיעור תוכלו

לתרגם כל זוג עצמי (λ,v) לפתרון e^(λt)v של המערכת.
לפרק y(0) בבסיס עצמי ולקבוע את המקדמים של הפתרון היחיד.
לזהות יציבות, אוכף, ספירלה וצומת חסר מתוך ספקטרום A.

נותנים שמות למה שראינו

מושגים שנשתמש בהם

מערכת אוטונומית לינארית: מערכת y′=Ay שבה A קבועה והקצב תלוי במצב הנוכחי.
אופן עצמי: הפתרון y(t)=e^(λt)v הנבנה מזוג עצמי של A.
דיוקן פאזה: תיאור המסלולים במרחב המצבים בלי להשתמש בזמן כציר נפרד.
יציבות אסימפטוטית: כל פתרון קרוב ל־0 מתכנס ל־0; במערכת קבועה זה קורה כשכל החלקים הממשיים של λ שליליים.
אוכף: שיווי משקל עם כיוון דועך וכיוון גדל; במישור מתקבל כאשר לערכים הממשיים סימנים מנוגדים.
אופן מוכלל: איבר כמו te^(λt)v שמופיע כאשר אין בסיס עצמי מלא.

מהמילים אל הסימנים

כותבים את הפעולה שכבר ראינו

פתחו את הנוסחה רק אחרי שאתם יכולים לומר במילים מה כל פעולה אמורה לעשות. בשלב הבא נצדיק אותה צעד אחר צעד.

להצגת נוסחת המפתח

קראו כל סימן כפעולה, לא כמשהו שצריך לשנןy(0)=Σcᵢvᵢ ⇒ y(t)=Σcᵢe^(λᵢt)vᵢ

מרכיבים את הפעולות

מהתמונה אל הנוסחה — הגזירה, בלי לדלג על הצעדים

בונים פתרון מזוג עצמי
נגזרת e^(λt)v היא λe^(λt)v, ואילו כפל ב־A נותן e^(λt)Av=λe^(λt)v. שני הצדדים שווים.
Av=λv ⇒ y(t)=e^(λt)v ⇒ y′=Ay
משתמשים בסופרפוזיציה
המערכת לינארית והומוגנית, ולכן צירוף של אופנים הוא שוב פתרון. אם הווקטורים העצמיים הם בסיס, כל תנאי התחלה אפשרי מתקבל בדרך זו.
y(t)=Σcᵢe^(λᵢt)vᵢ
מתאימים את תנאי ההתחלה
ב־t=0 כל האקספוננטים שווים 1. לכן מוצאים את c באמצעות אותה מערכת בסיס שכבר הכרנו בלכסון.
y(0)=Vc ⇒ c=V⁻¹y(0)
קוראים יציבות מן הספקטרום
עבור λ ממשי, סימן λ קובע דעיכה או גדילה. עבור λ=a±bi הגורם e^(at) קובע את המעטפת ו־b את קצב הסיבוב.
e^((a+bi)t)=e^(at)(cos(bt)+i sin(bt))
מבינים את הכיוון השולט
אם יש מקדם לא־אפס בכיוון בעל החלק הממשי הגדול ביותר, היחס בין שאר האופנים אליו דועך. לכן רוב המסלולים מתיישרים עם האופן הדומיננטי.
e^(λ₁t)/e^(λ₂t)=e^((λ₁−λ₂)t)
מטפלים במחסור בווקטורים עצמיים
בבלוק חסר J=λI+N עם N²=0, האקספוננט כולל I+tN. הגורם t אינו ערך עצמי חדש; הוא זיכרון של הערבוב שלא ניתן היה לבטל בלכסון.
e^(Jt)=e^(λt)(I+tN)

עכשיו רואים את השיטה בפעולה

דוגמאות פתורות, צעד אחר צעד

דוגמה 1

פתרון מלא של דוגמת העוגן

פתרו y′=Ay עבור A=[[3,1],[3,5]] ו־y(0)=(2,2).

ל־A יש λ₁=2, v₁=(1,−1), ו־λ₂=6, v₂=(1,3).
הפתרון הכללי הוא y=c₁e^(2t)v₁+c₂e^(6t)v₂.
מתנאי ההתחלה: (2,2)=c₁(1,−1)+c₂(1,3). פתרון המערכת נותן c₁=c₂=1.
לכן y₁(t)=e^(2t)+e^(6t), ו־y₂(t)=−e^(2t)+3e^(6t).
ב־t=0 מתקבל (2,2). גזירת הביטוי והשוואה ל־Ay מאמתות את שתי המשוואות.

התוצאה ומה היא אומרת

y(t)=e^(2t)(1,−1)+e^(6t)(1,3).

y(t)=(e^(2t)+e^(6t), −e^(2t)+3e^(6t))

דוגמה 2

ספירלה יציבה מערכים מרוכבים

סווגו את y′=Ay עבור A=[[-0.2,−1],[1,−0.2]].

הפולינום האופייני הוא (λ+0.2)²+1, ולכן λ=−0.2±i.
החלק הממשי −0.2 יוצר מעטפת e^(−0.2t), ולכן המרחק מן הראשית דועך.
החלק המדומה ±1 יוצר סיבוב בזווית t, כלומר תדירות זוויתית 1.
כיוון הסיבוב נקבע מן A(1,0)=(−0.2,1): בראשית התנועה פונה כלפי מעלה.

התוצאה ומה היא אומרת

הראשית היא ספירלה יציבה נגד כיוון השעון.

איפה זה פוגש את העולם

יישום

מודלים מצומדים של אוכלוסיות, תגובות כימיות, בקרה ומעגלים נכתבים כ־y′=Ay לאחר לינאריזציה. הספקטרום מאפשר לקבוע יציבות וקצב תגובה עוד לפני שמשרטטים מסלול יחיד.

מלכודת נפוצה

מה כדאי לבדוק

להחליף בין λ לבין הווקטור העצמי במשוואת הזמן. האקספוננט הוא e^(λt), ואילו v נשאר וקטור קבוע שמצביע על הכיוון. נרמול אחר של v משנה את c אך אינו משנה את הפתרון.

בודקים שהרעיון יושב

תרגול ומשוב

בדיקת הבנה

בחרו תשובה ורק אז בדקו את עצמכם

למערכת במישור ערכים עצמיים −3 ו־1. כיצד מסווגים את הראשית?

אוכף לא־יציבצומת יציבמרכז מחזורי

בחרו אחת מהאפשרויות כדי להמשיך.

עכשיו אתם

אתגר קצר

פתרו את y′=Jy עבור J=[[-1,1],[0,−1]] עם y(0)=(0,2), בלי להניח שיש שני וקטורים עצמיים.

רמז ראשון

כתבו J=−I+N כאשר N=[[0,1],[0,0]] ו־N²=0. לכן e^(Jt)=e^(−t)(I+tN).

הצגת דרך הפתרון

I+tN=[[1,t],[0,1]], ולכן e^(Jt)=e^(−t)[[1,t],[0,1]].
כפל ב־y(0)=(0,2) נותן y(t)=e^(−t)(2t,2).
ב־t=0 מתקבל (0,2).
הגורם t e^(−t) מופיע בגלל הווקטור המוכלל; למרות זאת שני הרכיבים דועכים לאפס.

מימוש הנושא

קוד שאפשר לקחת לניסוי

הקוד מיישם את אותו רעיון מתמטי. ב־JavaScript אפשר להריץ אותו כאן; גרסת Python זמינה להשוואה ולהעתקה.

הקשר למתמטיקה

הקוד משתמש בנוסחה סגורה של e^(At) לכל מטריצה ממשית 2×2, ולכן הוא עובד גם בצומת, בספירלה ובמקרה החסר.

פלט צפוי

דוגמת העוגן תחזיר (2,2) בזמן 0 ותגדל לכיוון (1,3); הספירלה תקטין את הרדיוס בערך פי e^(−0.2t).

ניסוי המשך

שנו במטריצת הספירלה את −0.2 ל־0 ואחר כך ל־0.2. מה משתנה במסלול ומה נשאר אותה תדירות?

מהרעיון אל הקוד

מימוש חישובי

function matVec(A, v) {
  return A.map(row => row[0]*v[0] + row[1]*v[1]);
}

function exp2x2(A, t) {
  const mean = (A[0][0]+A[1][1])/2;
  const determinant = A[0][0]*A[1][1]-A[0][1]*A[1][0];
  const delta2 = mean**2-determinant;
  let c, s;
  if (delta2 > 1e-12) {
    const d = Math.sqrt(delta2);
    c = Math.cosh(d*t); s = Math.sinh(d*t)/d;
  } else if (delta2 < -1e-12) {
    const w = Math.sqrt(-delta2);
    c = Math.cos(w*t); s = Math.sin(w*t)/w;
  } else { c = 1; s = t; }
  const g = Math.exp(mean*t);
  const B = [[A[0][0]-mean,A[0][1]],[A[1][0],A[1][1]-mean]];
  return [[g*(c+s*B[0][0]),g*s*B[0][1]],
          [g*s*B[1][0],g*(c+s*B[1][1])]];
}

const A = [[3, 1], [3, 5]];
for (const t of [0, 0.25, 0.5]) {
  console.log(t, matVec(exp2x2(A, t), [2, 2]));
}
console.log("spiral at t=3", matVec(exp2x2([[-0.2,-1],[1,-0.2]], 3), [2,0]));

from math import cos, cosh, exp, sin, sinh, sqrt

def mat_vec(A, v):
    return [row[0]*v[0]+row[1]*v[1] for row in A]

def exp_2x2(A, t):
    mean = (A[0][0]+A[1][1])/2
    determinant = A[0][0]*A[1][1]-A[0][1]*A[1][0]
    delta2 = mean**2-determinant
    if delta2 > 1e-12:
        d = sqrt(delta2); c, s = cosh(d*t), sinh(d*t)/d
    elif delta2 < -1e-12:
        w = sqrt(-delta2); c, s = cos(w*t), sin(w*t)/w
    else:
        c, s = 1, t
    g = exp(mean*t)
    B = [[A[0][0]-mean,A[0][1]],[A[1][0],A[1][1]-mean]]
    return [[g*(c+s*B[0][0]),g*s*B[0][1]],
            [g*s*B[1][0],g*(c+s*B[1][1])]]

A = [[3, 1], [3, 5]]
for t in [0, 0.25, 0.5]:
    print(t, mat_vec(exp_2x2(A, t), [2, 2]))
print("spiral at t=3", mat_vec(exp_2x2([[-0.2,-1],[1,-0.2]], 3), [2,0]))

לפני שממשיכים

מה לוקחים מהשיעור

כל זוג עצמי יוצר אופן e^(λt)v, ותנאי ההתחלה קובע את תערובת האופנים.
החלק הממשי של λ קובע גדילה או דעיכה; החלק המדומה קובע סיבוב.
אופן בעל חלק ממשי גדול יותר שולט בדרך כלל בהתנהגות ארוכת הטווח.
במטריצה חסרה מופיעים גורמים פולינומיים כמו t e^(λt), אך האקספוננט עדיין קובע את היציבות.

משימת מעבדה לשיעור הזה

תחנה 3 — לצפות בספקטרום מצייר מסלול

השוו צומת יציב, אוכף, ספירלה ומטריצה חסרה; נבאו את היציבות לפני הזזת הזמן.

לפתיחת התחנה

מקורות להעמקה בלבד — השיעור עומד בפני עצמו

מדריך המרצים: עמ׳ 171–178

ספר הלימוד: עמ׳ 349–361