01
קצב ושינוי
משוואות מסדר ראשון
First Order Equationsשאלת הפרק: כיצד חוק מקומי של שינוי יוצר התנהגות שלמה לאורך זמן?
מתחילים מהרעיון הפשוט ביותר: הנגזרת מספרת לנו לאן המערכת נעה עכשיו. משם נבנה גידול מעריכי, תגובה למקור, תנודות והמשוואה הלוגיסטית.
8 פרקים · 47 נושאים
מפת הלמידה
לא צריך להבין את כל המפה עכשיו. בחרו נקודת כניסה אחת; בתוך כל פרק נתקדם משאלה פשוטה אל המחשה, נוסחה וניסוי.
02
תנועה ותנודה
משוואות מסדר שני
Second Order Equationsשאלת הפרק: מה מספרים השורשים של המשוואה על צורת התנועה?
נגזרת שנייה מתארת תאוצה. קפיץ, בולם, מעגל חשמלי וכוח מחזורי הופכים לאותה משוואה — והשורשים שלה מספרים אם נראה דעיכה, תנודה או תהודה.
03
לחשב כשאין נוסחה
שיטות גרפיות ונומריות
Graphical and Numerical Methodsשאלת הפרק: איך מתקדמים בבטחה בלי לדעת את הפתרון מראש?
כשאין פתרון סגור, עדיין אפשר לראות את כיוון התנועה ולחשב מסלול. שדה שיפועים, יציבות, אוילר ו־Runge–Kutta הופכים משוואה לתמונה ולאלגוריתם.
04
שתי תמונות לאותה מערכת
משוואות לינאריות ומטריצות הפוכות
Linear Equations and Inverse Matricesשאלת הפרק: כיצד תמונה גאומטרית, חישוב שורות ופעולת מטריצה מספרים את אותו סיפור?
כאן האלגברה הליניארית נכנסת לבמה מן היסוד. אותה מערכת Ax=b היא אוסף אילוצים, צירוף של עמודות ופעולה גאומטרית; אלימינציה, כפל והופכי הם דרכים שונות להבין ולחשב את אותו מבנה.
05
הגאומטריה של כל הפתרונות
מרחבים ותתי־מרחבים
Vector Spaces and Subspacesשאלת הפרק: כיצד pivots של מטריצה חושפים בבת אחת את היעדים האפשריים, את החופש בפתרון ואת ממדי ארבעת המרחבים שלה?
בפרק הקודם פתרנו מערכת אחת. עכשיו נבין את המבנה של כל המערכות שאותה מטריצה יכולה לפתור: מרחב העמודות מתאר אילו יעדים אפשר להגיע אליהם, מרחב האפס מתאר אילו קלטים אינם משנים את הפלט, ובסיס וממד הופכים את שתי התמונות למפה שאפשר לחשב איתה.
06
הכיוונים שלא מסתובבים
ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
Eigenvalues and Eigenvectorsשאלת הפרק: כיצד הכיוונים שהמטריצה אינה מסובבת חושפים את כל הדינמיקה שלה?
ערך עצמי אינו רק מספר שמוצאים מדטרמיננטה: הוא קצב המתיחה של כיוון שהמטריצה אינה מסובבת. בפרק נלמד לעבור מן המשוואה Av=λv אל בסיס עצמי, חזקות, מערכות y′=Ay, אקספוננט מטריצי ואופני תנודה — כך שכל רעיון נבנה מן הקודם ואפשר ללמוד אותו בלי חומר עזר חיצוני.
07
הפתרון הקרוב ביותר
מתמטיקה שימושית ו־AᵀA
Applied Mathematics and AᵀAשאלת הפרק: מדוע אותה מטריצה AᵀA מתארת גם התאמה לנתונים, גם אנרגיה וגם זרימה ברשת?
הביטוי AᵀA מופיע בכל מקום שבו מודדים שגיאה, אנרגיה או שינוי. נתחיל מנתונים שאינם יושבים בדיוק על קו, נבנה את ההקרנה הקרובה ביותר, נפרק מטריצה בעזרת SVD, ונראה כיצד אותה תבנית הופכת נגזרת להפרשים, תנאי שפה למערכת, ומשוואת לפלס לרשת של מאזנים.
08
לפרק אות לצלילים
התמרות פורייה ולפלס
Fourier and Laplace Transformsשאלת הפרק: מה מרוויחים כאשר מחליפים את ציר הזמן או המרחב בציר התדר?
בפרקים הקודמים פתרנו מערכות על ידי מעבר לבסיס של וקטורים עצמיים. כאן נעשה אותו דבר לפונקציות ולאותות: סינוסים, קוסינוסים ומעריכיים מרוכבים הם כיוונים שאינם מתערבבים. פורייה מפרק מרחב או זמן לתדרים, משוואות החום והגל מתפתחות מצב־מצב, לפלס הופך נגזרות לאלגברה, וקונבולוציה מחברת קלט עם תגובת מערכת.