משוואות מסדר שני

מבנה הפתרון

Solutions to Second Order Equations

פונקציות גרין, תנאי התחלה וחיבור תגובות למקורות שונים.

יחידת לימוד עצמאיתשיעור 6 מתוך 7כ־75 דקות כולל תרגול4 מטרות למידה

1
נקודת פתיחהמה כבר ידוע ומה השאלה?
2
ניבוימה יקרה במקרה הפשוט?
3
המחשהמה באמת משתנה בתמונה?
4
ניסוח והצדקהשם, נוסחה ולמה היא נכונה
5
בדיקהדוגמה, תרגול ומשוב
6
העברהמקרה חדש והמשך המסלול

שאלה לפני נוסחה

מה אנחנו מנסים לראות?

לבנות פתרון מלא כתגובה חופשית ועוד תגובה מאולצת, ולהבין כיצד תגובת הלם, סיבתיות וקונבולוציה מטפלות בכל מקור.

כל ערך קטן של המקור פועל כמו דחיפה קצרה בזמן אחר. המערכת מגיבה לכל דחיפה באותה תבנית, רק מוזזת בזמן; חיבור כל התגובות יוצר את הפתרון המאולץ.

לפני ההמחשה: קראו רק את הכותרת “מקור כללי הוא סכום של דחיפות קטנות”. מה לדעתכם ישתנה, מה יישאר קבוע, ואיזה סימן בתמונה יוכל להפריך את הניבוי?

לראות לפני שמחשבים · המקרה הפשוט ביותר

מקור כללי הוא סכום של דחיפות קטנות

עקבו מהצורה הראשונית אל התוצאה

העקומות הדקות הן תגובות הלם שהוזזו לזמני מקור שונים; סכומן יוצר את התגובה המאולצת העבה.

מה כדאי לגלות: השוו דחיפה מוקדמת למאוחרת בזמן המדידה: איזו מהן הספיקה לדעוך יותר, ומדוע מופיע g(t−τ)?

אחרי שראינו

בסוף השיעור תוכלו

לחשב את התגובה החופשית מתנאי מיקום ומהירות.
לבחור בין מקדמים לא־ידועים, וריאציית פרמטרים ותגובת הלם לפי צורת המקור.
לגזור תגובת הלם סיבתית ואת תנאי הקפיצה בנגזרת.
לבנות ולבדוק תגובה מאולצת באמצעות קונבולוציה.

נותנים שמות למה שראינו

מושגים שנשתמש בהם

תגובה חופשית: פתרון הומוגני שנבחר כך שיישא את תנאי ההתחלה של המערכת.
תגובת הלם g: הפתרון הסיבתי למנת יחידה δ(t); הוא משמש גרעין לכל מקור אחר.
סיבתיות: המערכת אינה מגיבה לפני שהמקור הופעל; לכן g(t)=0 עבור t<0.
קונבולוציה: אינטגרל המחבר תגובות הלם מוזזות, שכל אחת משוקללת לפי עוצמת המקור בזמן כניסתה.
תנאי קפיצה: הלם ביחידה משאיר את y רציפה אך מקפיץ את y′ ב־1/A כאשר המקדם של y″ הוא A.
ורונסקיאן W: הדטרמיננטה y₁y₂′−y₁′y₂; ערך שאינו אפס מאשר ששני פתרונות הומוגניים בלתי תלויים.

מהמילים אל הסימנים

כותבים את הפעולה שכבר ראינו

פתחו את הנוסחה רק אחרי שאתם יכולים לומר במילים מה כל פעולה אמורה לעשות. בשלב הבא נצדיק אותה צעד אחר צעד.

להצגת נוסחת המפתח

קראו כל סימן כפעולה, לא כמשהו שצריך לשנןy = yₕ + yₚ

מרכיבים את הפעולות

מהתמונה אל הנוסחה — הגזירה, בלי לדלג על הצעדים

בוחרים דרך לפי המקור
תמיד פותרים תחילה את ההומוגנית. למקור פולינומי, מעריכי או טריגונומטרי מנסים מקדמים לא־ידועים; למקור כללי משתמשים בווריאציית פרמטרים או בתגובת הלם.
homogeneous first → simple source: guess → general source: variation / Green
מתקנים ניחוש שחופף לפתרון הומוגני
בניחוש מקדמים לא־ידועים מעתיקים את משפחת המקור. אם היא כבר מופיעה בפתרון ההומוגני, מכפילים ב־t בחזקת ריבוי השורש עד לקבלת פתרון בלתי תלוי.
P(D)y=e^(ct), c root of multiplicity m ⇒ try yₚ=Ctᵐe^(ct)
וריאציית פרמטרים מטפלת במקור כללי
למשוואה מנורמלת y″+p(t)y′+q(t)y=f(t), כותבים yₚ=u₁y₁+u₂y₂. שתי משוואות פשוטות לנגזרות u₁,u₂ מתקבלות מן הוורונסקיאן.
W=y₁y₂′−y₁′y₂; u₁′=−y₂f/W; u₂′=y₁f/W
עוצרים לחשוב: אם המקדם של y″ הוא A(t), מחלקים תחילה את המשוואה ב־A(t).
פותרים תחילה את המשוואה ההומוגנית
נשתמש במערכת לדוגמה L[y]=y″+3y′+2y. השורשים −1 ו־−2 נותנים שני אופני דעיכה בלתי תלויים.
L[y]=f(t), y_free=c₁e^(−t)+c₂e^(−2t)
מכניסים את שני תנאי ההתחלה
הצבת y(0)=y₀ ו־y′(0)=v₀ יוצרת שתי משוואות לשני הקבועים.
c₁+c₂=y₀, −c₁−2c₂=v₀ ⇒ c₁=2y₀+v₀, c₂=−y₀−v₀
מגדירים תגובת הלם
g היא התגובה במנוחה למקור δ(t). סיבתיות נותנת g=0 לפני האפס. אינטגרציה של המשוואה סביב t=0 משאירה את g רציפה ומקפיצה את g′ ביחידה.
L[g]=δ(t), g(0⁺)=0, g′(0⁺)=1
מתאימים את אופני הדעיכה לקפיצה
עבור t>0,‏ g הומוגנית. התנאים g(0)=0 ו־g′(0)=1 קובעים את המקדמים.
g(t)=u(t)[e^(−t)−e^(−2t)]
מזיזים דחיפה לזמן τ
מנה f(τ)dτ שנכנסה בזמן τ מתנהגת עד זמן t במשך t−τ יחידות זמן, ולכן תרומתה היא תגובת הלם מוזזת.
dy_forced=g(t−τ)f(τ)dτ
מחברים את כל הדחיפות
הגבול של סכום מנות קטנות הוא אינטגרל הקונבולוציה. הגבול העליון t מבטא סיבתיות: מקורות עתידיים עדיין אינם משפיעים.
y_forced(t)=∫[0→t]g(t−τ)f(τ)dτ
מרכיבים את הפתרון המלא
הקונבולוציה מתחילה עם y=0 ו־y′=0, ולכן אינה משנה את תנאי ההתחלה שנישאים על ידי התגובה החופשית.
y(t)=y_free(t)+y_forced(t)

עכשיו רואים את השיטה בפעולה

דוגמאות פתורות, צעד אחר צעד

דוגמה 1

מקדמים לא־ידועים עם חפיפה

מצאו פתרון פרטי של y″+3y′+2y=e^(−t).

המשוואה ההומוגנית נותנת (r+1)(r+2)=0, ולכן e^(−t) כבר שייך לפתרון ההומוגני.
הניחוש Ce^(−t) ייעלם תחת האופרטור. השורש −1 פשוט, ולכן מכפילים פעם אחת ב־t ומנסים yₚ=Ct e^(−t).
נגזרות: yₚ′=C(1−t)e^(−t),‏ yₚ″=C(t−2)e^(−t).
הצבה נותנת C[(t−2)+3(1−t)+2t]e^(−t)=C e^(−t), ולכן C=1.

התוצאה ומה היא אומרת

הכפלה ב־t מוציאה את הניחוש ממרחב הפתרונות ההומוגניים.

yₚ(t)=t e^(−t)

דוגמה 2

וריאציית פרמטרים למקור שאי־אפשר לנחש

מצאו פתרון פרטי של y″+y=sec(t), כאשר sec(t)=1/cos(t), בתחום שבו cos(t)≠0.

פתרונות ההומוגנית הם y₁=cos(t),‏ y₂=sin(t), והוורונסקיאן הוא W=y₁y₂′−y₁′y₂=1.
מחשבים u₁′=−y₂f/W=−tan(t), ולכן u₁=ln|cos(t)|.
מחשבים u₂′=y₁f/W=1, ולכן u₂=t. קבועי האינטגרציה מיותרים כי הם רק מוסיפים פתרון הומוגני.
מחברים yₚ=u₁y₁+u₂y₂=cos(t)ln|cos(t)|+t sin(t).

התוצאה ומה היא אומרת

וריאציית פרמטרים בונה פתרון גם כאשר המקור sec(t) אינו ממשפחה המתאימה לניחוש מקדמים.

yₚ=cos(t)ln|cos(t)|+t sin(t)

דוגמה 3

מקור קבוע מן הקונבולוציה

פתרו y″+3y′+2y=1 עם y(0)=y′(0)=0 בעזרת g(t)=e^(−t)−e^(−2t).

במנוחה התגובה החופשית היא אפס, ולכן נשאר רק y=∫₀ᵗg(t−τ)dτ.
מציבים s=t−τ; אז האינטגרל הוא ∫₀ᵗ[e^(−s)−e^(−2s)]ds.
האינטגרלים הם 1−e^(−t) ו־(1/2)(1−e^(−2t)). מחסרים ביניהם.
מקבלים y=1/2−e^(−t)+(1/2)e^(−2t). בדיקה ב־t=0 נותנת גם y=0 וגם y′=0.

התוצאה ומה היא אומרת

התגובה נבנית מאפס ומתקרבת לשיווי המשקל 1/2.

y(t)=1/2−e^(−t)+(1/2)e^(−2t)

דוגמה 4

הלם מושהה

מהי תגובת המערכת במנוחה למקור 2δ(t−1)?

לפני t=1 המקור טרם הופעל ולכן y=0.
הלם בעוצמה 2 מכפיל את תגובת היחידה ומזיז אותה בזמן.
לכן y=2g(t−1)u(t−1). ההעתק רציף באפס, אך המהירות קופצת מ־0 ל־2 בזמן t=1.

התוצאה ומה היא אומרת

אחרי ההלם מתקבל צירוף של שני אופני דעיכה; לפניו אין תגובה.

y(t)=2[e^(−(t−1))−e^(−2(t−1))]u(t−1)

איפה זה פוגש את העולם

יישום

במתלה של רכב אפשר למדוד פעם אחת את התגובה למכה קצרה, ואז לחזות את התנועה עבור פרופיל כביש שלם באמצעות קונבולוציה עם אותו גרעין.

מלכודת נפוצה

מה כדאי לבדוק

להוסיף פתרון פרטי שאינו בעל תנאי התחלה אפסיים ואז להכניס שוב את אותם תנאים לפתרון ההומוגני. כמו כן, הגרעין הוא g(t−τ), לא g(τ): הוא תלוי בזמן שחלף מאז הדחיפה.

בודקים שהרעיון יושב

תרגול ומשוב

בדיקת הבנה

בחרו תשובה ורק אז בדקו את עצמכם

איזו שיטה ישירה מתאימה למקור כללי כמו sec(t), שאינו פולינום, מעריך או סינוסואיד?

וריאציית פרמטריםניחוש קבוע בלבדמחיקת הפתרון ההומוגני

בחרו אחת מהאפשרויות כדי להמשיך.

עכשיו אתם

אתגר קצר

עבור y″+3y′+2y=e^(−t) במנוחה, חשבו את הקונבולוציה עם g(t)=e^(−t)−e^(−2t). היכן מופיע גורם t, ומדוע?

רמז ראשון

פתחו g(t−τ)e^(−τ). באיבר הראשון האקספוננטים תלויים ב־τ ומתבטלים זה עם זה.

הצגת דרך הפתרון

y=∫₀ᵗ[e^(−(t−τ))−e^(−2(t−τ))]e^(−τ)dτ.
האיבר הראשון הוא ∫₀ᵗe^(−t)dτ=t e^(−t). האיבר השני הוא e^(−2t)∫₀ᵗe^τdτ=e^(−t)−e^(−2t).
לכן y=(t−1)e^(−t)+e^(−2t). גורם t מופיע מפני שקצב המקור −1 חופף לשורש −1 של המערכת — תהודה מעריכית.

מימוש הנושא

קוד שאפשר לקחת לניסוי

הקוד מיישם את אותו רעיון מתמטי. ב־JavaScript אפשר להריץ אותו כאן; גרסת Python זמינה להשוואה ולהעתקה.

הקשר למתמטיקה

convolve מקרבת את האינטגרל בכלל הטרפז; response מחברת לתוצאה את שני אופני התגובה החופשית.

פלט צפוי

במנוחה עם מקור קבוע יודפסו בקירוב y(0)=0,‏ y(1)=0.1998 ו־y(3)=0.4515.

ניסוי המשך

החליפו את source בפונקציה t=>Math.exp(-t). השוו את הפלט לנוסחה (t−1)e^(−t)+e^(−2t).

מהרעיון אל הקוד

מימוש חישובי

function convolve(t, source, impulse, steps = 2000) {
  if (t < 0 || steps < 1) throw new RangeError("valid t and steps required");
  if (t === 0) return 0;
  const h = t / steps;
  let sum = 0;
  for (let i = 0; i <= steps; i += 1) {
    const tau = i * h;
    const weight = i === 0 || i === steps ? 0.5 : 1;
    sum += weight * impulse(t - tau) * source(tau);
  }
  return h * sum;
}

function response(t, y0 = 0, v0 = 0, source = () => 1) {
  const g = (u) => u < 0 ? 0 : Math.exp(-u) - Math.exp(-2*u);
  const free = (2*y0 + v0)*Math.exp(-t) - (y0 + v0)*Math.exp(-2*t);
  return free + convolve(t, source, g);
}

console.log([0, 1, 3].map((t) => ({ t, y: response(t) })));

from math import exp

def convolve(t, source, impulse, steps=2000):
    if t < 0 or steps < 1:
        raise ValueError("valid t and steps required")
    if t == 0:
        return 0.0
    h = t / steps
    total = 0.0
    for i in range(steps + 1):
        tau = i*h
        weight = 0.5 if i in (0, steps) else 1.0
        total += weight*impulse(t-tau)*source(tau)
    return h*total

def response(t, y0=0, v0=0, source=lambda _t: 1):
    g = lambda u: 0 if u < 0 else exp(-u)-exp(-2*u)
    free = (2*y0+v0)*exp(-t) - (y0+v0)*exp(-2*t)
    return free + convolve(t, source, g)

print([(t, response(t)) for t in (0, 1, 3)])

לפני שממשיכים

מה לוקחים מהשיעור

התגובה החופשית נושאת את תנאי ההתחלה; הקונבולוציה נושאת את המקור.
מקור פשוט מזמין ניחוש מקדמים; מקור כללי מזמין וריאציית פרמטרים או פונקציית גרין.
תגובת הלם סיבתית נקבעת מן הפתרון ההומוגני ומתנאי קפיצה.
הביטוי t−τ מודד את גיל התרומה שנכנסה בזמן τ.
קונבולוציה היא סכום רציף של תגובות הלם מוזזות ומשוקללות.

משימת מעבדה לשיעור הזה

תחנה 4 — מהלם לפתרון

בחרו הלם או מדרגה, הזיזו את זמן ההפעלה והפרידו בין התגובה החופשית, המאולצת והסכום.

לפתיחת התחנה

מקורות להעמקה בלבד — השיעור עומד בפני עצמו

מדריך המרצים: עמ׳ 64–71

ספר הלימוד: עמ׳ 130–138

מה אנחנו מנסים לראות?

מקור כללי הוא סכום של דחיפות קטנות

בסוף השיעור תוכלו

מושגים שנשתמש בהם

כותבים את הפעולה שכבר ראינו

מהתמונה אל הנוסחה — הגזירה, בלי לדלג על הצעדים

בוחרים דרך לפי המקור

מתקנים ניחוש שחופף לפתרון הומוגני

וריאציית פרמטרים מטפלת במקור כללי

פותרים תחילה את המשוואה ההומוגנית

מכניסים את שני תנאי ההתחלה

מגדירים תגובת הלם

מתאימים את אופני הדעיכה לקפיצה

מזיזים דחיפה לזמן τ

מחברים את כל הדחיפות

מרכיבים את הפתרון המלא

דוגמאות פתורות, צעד אחר צעד

יישום

מה כדאי לבדוק

תרגול ומשוב

אתגר קצר

קוד שאפשר לקחת לניסוי

מימוש חישובי

מה לוקחים מהשיעור

תחנה 4 — מהלם לפתרון