משוואות מסדר שני

רשתות חשמל ומערכות מכניות

Electrical Networks and Mechanical Systems

מגלים שמסה–קפיץ ומעגל RLC חולקים אותה מתמטיקה.

יחידת לימוד עצמאיתשיעור 5 מתוך 7כ־55 דקות כולל תרגול3 מטרות למידה

1
נקודת פתיחהמה כבר ידוע ומה השאלה?
2
ניבוימה יקרה במקרה הפשוט?
3
המחשהמה באמת משתנה בתמונה?
4
ניסוח והצדקהשם, נוסחה ולמה היא נכונה
5
בדיקהדוגמה, תרגול ומשוב
6
העברהמקרה חדש והמשך המסלול

שאלה לפני נוסחה

מה אנחנו מנסים לראות?

לבנות את משוואת מעגל RLC מן הרכיבים, למפות אותה למסה־בולם־קפיץ ולחשב זרם, עכבה ופאזה בלי להניח רקע קודם בחשמל.

מסה וסליל מתנגדים לשינוי במהירות או בזרם, בולם ונגד מפזרים אנרגיה, וקפיץ וקבל אוגרים אנרגיה לפי העתק או מטען. לכן שתי המערכות חולקות אותה משוואה.

לפני ההמחשה: קראו רק את הכותרת “אותה משוואה בשתי מערכות”. מה לדעתכם ישתנה, מה יישאר קבוע, ואיזה סימן בתמונה יוכל להפריך את הניבוי?

לראות לפני שמחשבים · המקרה הפשוט ביותר

אותה משוואה בשתי מערכות

עקבו מהצורה הראשונית אל התוצאה

התרשים מצמיד מסה, בולם וקפיץ לסליל, נגד וקבל ומראה אילו משתנים ונגזרות ממלאים אותו תפקיד.

מה כדאי לגלות: עקבו אחר שתי השורות: מדוע ההעתק מתאים למטען, ואילו המהירות מתאימה דווקא לזרם?

אחרי שראינו

בסוף השיעור תוכלו

להגדיר מטען, זרם ומתח ולגזור את משוואת RLC הטורית.
להשתמש בטבלת ההתאמה בין מערכת מכנית למערכת חשמלית.
לחשב עכבה, משרעת זרם ופאזה ולזהות את תדר הביטול הריאקטיבי.

נותנים שמות למה שראינו

מושגים שנשתמש בהם

מטען q: כמות המטען החשמלי על הקבל, נמדדת בקולון; הנגזרת שלו בזמן היא הזרם.
זרם I=q′: קצב מעבר המטען, נמדד באמפר — קולון לשנייה.
מתח E: הפרש פוטנציאל שמספק אנרגיה ליחידת מטען, נמדד בוולט.
R, L, C: התנגדות באוהם, השראות בהנרי וקיבול בפאראד; הם מקבילים לבולם, מסה וגמישות.
עכבה Z: היחס המרוכב בין פאזור המתח לפאזור הזרם; |Z| קובע את הנחתת הזרם והזווית קובעת פאזה.

מהמילים אל הסימנים

כותבים את הפעולה שכבר ראינו

פתחו את הנוסחה רק אחרי שאתם יכולים לומר במילים מה כל פעולה אמורה לעשות. בשלב הבא נצדיק אותה צעד אחר צעד.

להצגת נוסחת המפתח

קראו כל סימן כפעולה, לא כמשהו שצריך לשנןLq″ + Rq′ + q/C = E(t)

מרכיבים את הפעולות

מהתמונה אל הנוסחה — הגזירה, בלי לדלג על הצעדים

בוחרים משתנה מצב
נסמן q(t) כמטען על הקבל. הזרם הוא קצב שינוי המטען, ולכן I(t)=q′(t).
I=q′, [q]=Coulomb, [I]=Ampere
כותבים את מתח כל רכיב
בסליל המתח פרופורציוני לשינוי הזרם, בנגד לזרם ובקבל למטען שנצבר.
V_L=L I′=Lq″, V_R=RI=Rq′, V_C=q/C
מחברים מתחים בלולאה
חוק המתחים של קירכהוף אומר שסכום מפלי המתח בלולאה שווה למתח המקור E(t).
Lq″+Rq′+q/C=E(t)
קוראים את האנלוגיה המכנית
השוואת המקדמים למשוואת מסה־בולם־קפיץ מראה שהמטען הוא ההעתק והזרם הוא המהירות.
m↔L, b↔R, k↔1/C, y↔q, y′↔I, F↔E
מחשבים את פאזור המטען
למתח E₀cos(ωt) נשתמש ב־E₀e^(iωt). הצבת q=Qe^(iωt) נותנת את אותו מכנה שנראה בתנודה מאולצת.
Q=E₀/(1/C−Lω²+iRω), I=iωQ
עוברים לעכבת הזרם
חלוקה ב־I במקום ב־Q נותנת את עכבת המעגל. החלק הממשי מפזר אנרגיה והחלק המדומה משווה בין הסליל לקבל.
Z=E/I=R+i(ωL−1/(ωC)), |I|=E₀/|Z|
מזהים תהודת זרם
כאשר ωL=1/(ωC), שני החלקים הריאקטיביים מתבטלים. נשאר Z=R ולכן הזרם מרבי במעגל טורי עם R>0.
ω₀=1/√(LC), |I(ω₀)|=E₀/R
עוצרים לחשוב: שיא הזרם מקביל לשיא המהירות המכנית; שיא המטען מקביל לשיא ההעתק ועלול להופיע בתדר מעט אחר.

עכשיו רואים את השיטה בפעולה

דוגמאות פתורות, צעד אחר צעד

דוגמה 1

מעגל בתדר התהודה

במעגל טורי L=1 H,‏ C=0.25 F,‏ R=2 Ω ומתח שיא E₀=10 V, מצאו את תדר התהודה, הזרם והפאזה.

ω₀=1/√(LC)=1/√0.25=2 rad/s.
בתדר זה ωL=2 וגם 1/(ωC)=2, ולכן החלק המדומה של Z מתאפס.
Z=R=2 Ω, ולכן משרעת הזרם היא |I|=10/2=5 A.
העכבה ממשית וחיובית, ולכן הזרם והמתח באותה פאזה: φ=0.

התוצאה ומה היא אומרת

הסליל והקבל מבטלים זה את זה בתדר 2 rad/s; רק הנגד מגביל את הזרם.

ω₀=2 rad/s, |I|=5 A, φ=0

דוגמה 2

מתחת לתהודה: הזרם מקדים

באותו מעגל חשבו את הזרם עבור ω=1 rad/s.

ההיגב הוא X=ωL−1/(ωC)=1−4=−3 Ω.
|Z|=√(R²+X²)=√13≈3.606 Ω, ולכן |I|≈10/3.606=2.77 A.
פאזור הזרם הוא E/Z, ולכן זוויתו −atan2(X,R)=−atan2(−3,2)≈+0.983 רדיאנים.

התוצאה ומה היא אומרת

מתחת לתהודה הקבל דומיננטי והזרם מקדים את המתח.

|I|≈2.77 A, phase(I)≈+0.983 rad

איפה זה פוגש את העולם

יישום

מעגל RLC משמש מסנן בורר תדרים, והאנלוגיה המכנית מאפשרת לבדוק באותו מודל גם חיישני רטט, בולמי זעזועים ומתלים.

מלכודת נפוצה

מה כדאי לבדוק

למפות את הזרם להעתק. ההעתק המכנִי מתאים למטען q, ואילו הזרם I=q′ מתאים למהירות. בנוסף, בטור עכבות מתחברות; במקביל דווקא המתירויות מתחברות.

בודקים שהרעיון יושב

תרגול ומשוב

בדיקת הבנה

בחרו תשובה ורק אז בדקו את עצמכם

איזו התאמה שומרת על סדר הנגזרות בין המערכת המכנית למעגל RLC?

y↔q ו־y′↔Iy↔I ו־y′↔qm↔R ו־b↔L

בחרו אחת מהאפשרויות כדי להמשיך.

עכשיו אתם

אתגר קצר

במעגל מן הדוגמה מכפילים את R מ־2 Ω ל־4 Ω. מה נשאר קבוע בתהודה, מה משתנה בזרם השיא, וכיצד משתנה רוחב חצי־ההספק Δω — המרחק בין שני התדרים שבהם ההספק בנגד הוא חצי מערכו בשיא?

רמז ראשון

תדר הביטול נקבע רק מן השוויון ωL=1/(ωC). בתהודה Z=R.

הצגת דרך הפתרון

התדר ω₀=1/√(LC)=2 rad/s אינו משתנה, כי L ו־C לא השתנו.
בתהודה |I|=E₀/R, ולכן הזרם יורד מ־5 A ל־10/4=2.5 A.
במעגל RLC טורי רוחב חצי־ההספק הוא Δω=R/L. כאן L=1, ולכן הרוחב גדל מ־2 ל־4 rad/s: השיא נמוך יותר אך רחב יותר לפי הגדרה מדויקת זו.

מימוש הנושא

קוד שאפשר לקחת לניסוי

הקוד מיישם את אותו רעיון מתמטי. ב־JavaScript אפשר להריץ אותו כאן; גרסת Python זמינה להשוואה ולהעתקה.

הקשר למתמטיקה

seriesRLC מחשבת תחילה את ההיגב X=ωL−1/(ωC), אחר כך את |Z| ולבסוף את משרעת הזרם והפאזה.

פלט צפוי

עבור ω=1,2,4 יתקבלו זרמים בקירוב 2.77,‏ 5,‏ 2.77 A; הפאזות יהיו בקירוב +0.983,‏ 0,‏ −0.983.

ניסוי המשך

הכפילו את R ל־4 והריצו שוב. בדקו מדוע הזרמים ב־ω=1 וב־ω=4 נשארים שווים אף שאינם במרחק שווה מ־ω₀=2; הרמז הוא 1·4=ω₀².

מהרעיון אל הקוד

מימוש חישובי

function seriesRLC(
  omega,
  { L = 1, R = 2, C = 0.25, voltage = 10 } = {}
) {
  if (omega <= 0 || L <= 0 || R < 0 || C <= 0 || voltage <= 0) {
    throw new RangeError("invalid parameters");
  }
  const reactance = omega * L - 1 / (omega * C);
  const impedance = Math.hypot(R, reactance);
  const idealResonance = impedance < 1e-12;
  return {
    omega,
    impedance,
    currentAmplitude: idealResonance ? Number.POSITIVE_INFINITY : voltage / impedance,
    currentPhase: idealResonance ? null : -Math.atan2(reactance, R),
    idealResonance,
  };
}

console.log([1, 2, 4].map((omega) => seriesRLC(omega)));

from math import atan2, hypot

def series_rlc(omega, L=1, R=2, C=0.25, voltage=10):
    if (omega <= 0 or L <= 0 or R < 0 or C <= 0 or voltage <= 0):
        raise ValueError("invalid parameters")
    reactance = omega*L - 1/(omega*C)
    impedance = hypot(R, reactance)
    ideal_resonance = impedance < 1e-12
    return (impedance,
            float("inf") if ideal_resonance else voltage/impedance,
            None if ideal_resonance else -atan2(reactance, R),
            ideal_resonance)

print([
    (omega, *series_rlc(omega))
    for omega in (1, 2, 4)
])

לפני שממשיכים

מה לוקחים מהשיעור

מטען הוא האנלוג החשמלי של העתק; זרם הוא האנלוג של מהירות.
חוק קירכהוף הופך את שלושת מתחי הרכיבים למשוואה מסדר שני.
העכבה מרכזת התנגדות, השראות וקיבול למספר מרוכב אחד.
במעגל RLC טורי שיא הזרם מופיע כאשר היגבי L ו־C מבטלים זה את זה.

משימת מעבדה לשיעור הזה

תחנה 3 — קפיץ ומעגל RLC

החליפו בין משרעת העתק/מטען לבין משרעת מהירות/זרם וזהו מדוע שני השיאים אינם מייצגים אותה כמות.

לפתיחת התחנה

מקורות להעמקה בלבד — השיעור עומד בפני עצמו

מדריך המרצים: עמ׳ 59–64

ספר הלימוד: עמ׳ 118–129