דילוג לתוכן הראשי
מרחב חימתמטיקה בתנועה
תפריט
2.4

משוואות מסדר שני

תנודות מאולצות ותגובה מעריכית

Forced Oscillations and Exponential Response

כוח חיצוני, תגובת steady state, מעבר ורזוננס.

יחידת לימוד עצמאיתשיעור 4 מתוך 7כ־65 דקות כולל תרגול3 מטרות למידה
  1. 1
    נקודת פתיחהמה כבר ידוע ומה השאלה?
  2. 2
    ניבוימה יקרה במקרה הפשוט?
  3. 3
    המחשהמה באמת משתנה בתמונה?
  4. 4
    ניסוח והצדקהשם, נוסחה ולמה היא נכונה
  5. 5
    בדיקהדוגמה, תרגול ומשוב
  6. 6
    העברהמקרה חדש והמשך המסלול

שאלה לפני נוסחה

מה אנחנו מנסים לראות?

לחשב תגובה לכוח מחזורי, להפריד בין תגובת מעבר למצב מתמיד ולפרש כיצד תדר וריסון קובעים משרעת, פאזה ותהודה.

אקספוננט הוא אות נוח במיוחד: גזירה רק מכפילה אותו במספר. לכן מערכת עם מקדמים קבועים אינה משנה את תדר הכניסה, אלא רק מגבירה אותו ומסיטה את הפאזה. כאשר המכנה כמעט מתאפס מתקבלת תגובה גדולה.

לפני ההמחשה: קראו רק את הכותרת “סריקת תדר חושפת את אזור התהודה”. מה לדעתכם ישתנה, מה יישאר קבוע, ואיזה סימן בתמונה יוכל להפריך את הניבוי?

לראות לפני שמחשבים · המקרה הפשוט ביותר

סריקת תדר חושפת את אזור התהודה

משרעת ופאזה של תגובה מאולצת לאורך סריקת תדריםkA/F₀ · ζ=0.2ρ=ω/ωₙשיאφρ=ω/ωₙב־ρ=1 הפאזה π/2
עקבו מהצורה הראשונית אל התוצאה

עבור יחס ריסון קבוע ζ=0.2 מוצגים הגבר ההעתק המנורמל kA/F₀ והפאזה כתלות ביחס התדרים ρ=ω/ωₙ.

מה כדאי לגלות: השוו את מקום שיא ההגבר ל־ρ=1 ועקבו אחר הפאזה: מדוע השיא נמצא מעט לפני התדר הטבעי, ומה מיוחד בפאזה ב־ρ=1?

אחרי שראינו

בסוף השיעור תוכלו

  • לגזור את תגובת המערכת לכוח מעריכי בעזרת P(c) ואת תגובת התדר H(iω).
  • לחשב משרעת והשהיית פאזה לכוח F₀cos(ωt).
  • להבחין בין התדר הטבעי ωₙ, התדר המרוסן ωd ותדר שיא ההעתק ωᵣ.

נותנים שמות למה שראינו

מושגים שנשתמש בהם

תגובה מתמידה
החלק המחזורי שנשאר לאחר שתגובת המעבר דועכת במערכת יציבה אסימפטוטית.
תגובה חולפת
פתרון הומוגני התלוי בתנאי ההתחלה; הוא דועך כאשר כל חלקי השורשים הממשיים שליליים ממש.
תגובת תדר H(iω)
מספר מרוכב שמכפיל כניסה סינוסואידלית ומקודד יחד את שינוי המשרעת והפאזה.
תהודה
תגובה גדולה כאשר תדר הכניסה קרוב לתדר שהמערכת מעדיפה; ללא ריסון בדיוק בתדר הטבעי אין מצב מתמיד חסום.
ωₙ, ωd, ωᵣ
בהתאמה: התדר הטבעי ללא ריסון, תדר התנודה החופשית המרוסנת ותדר שיא תגובת ההעתק.

מהמילים אל הסימנים

כותבים את הפעולה שכבר ראינו

פתחו את הנוסחה רק אחרי שאתם יכולים לומר במילים מה כל פעולה אמורה לעשות. בשלב הבא נצדיק אותה צעד אחר צעד.

להצגת נוסחת המפתחקראו כל סימן כפעולה, לא כמשהו שצריך לשנןH(iω)=1/P(iω), yₚ=Re(F₀H(iω)eⁱωᵗ)

מרכיבים את הפעולות

מהתמונה אל הנוסחה — הגזירה, בלי לדלג על הצעדים

  1. הופכים אופרטור לפולינום

    נסמן D=d/dt ו־P(D)=mD²+bD+k. על e^(ct), כל גזירה מכפילה ב־c ולכן האופרטור כולו מתנהג כמו המספר P(c).

    P(D)e^(ct)=P(c)e^(ct), P(c)=mc²+bc+k

  2. מוצאים תגובה לכוח מעריכי

    נגדיר H(c)=1/P(c) כמכפיל של כל כניסה מעריכית. לכוח F₀e^(ct) מתקבלת תגובת פלט F₀H(c)e^(ct), כל עוד P(c)≠0.

    H(c)=1/P(c), yₚ=F₀H(c)e^(ct)

  3. עוברים לכוח מחזורי

    מייצגים F₀cos(ωt) כחלק הממשי של F₀e^(iωt). הצבה c=iω משתמשת ב־i²=−1 ומפרידה לחלק אלסטי ממשי ולחלק ריסון מדומה.

    P(iω)=k−mω²+i bω

  4. קוראים משרעת ופאזה

    הערך המוחלט של H קובע את משרעת ההעתק. זווית המכנה היא השהיית הפאזה φ, ולכן התגובה מפגרת אחרי הכוח.

    A(ω)=F₀/√[(k−mω²)²+(bω)²], φ=atan2(bω,k−mω²)

  5. מחזירים פתרון ממשי

    התגובה המתמידה היא החלק הממשי. כדי לקיים תנאי התחלה מוסיפים פתרון הומוגני; במערכת יציבה אסימפטוטית הוא דועך ונשאר הגל בתדר הכניסה.

    y(t)=yₕ(t)+A(ω)cos(ωt−φ)

  6. מזהים תהודה ואת מקרה הקצה

    כאשר b קטן והמכנה קטן, המשרעת גדולה. אם b=0 ו־ω=ωₙ=√(k/m), המכנה מתאפס ואין פתרון מחזורי חסום; האילוץ מוסיף גורם t.

    b=0, ω=ωₙ ⇒ yₚ=(F₀/(2mωₙ))t sin(ωₙt)

  7. לא מבלבלים בין שלושה תדרים

    בתת־ריסון, ωd מתאר את התנודה החופשית. שיא ההעתק המאולץ מתקבל בתדר מעט נמוך יותר מ־ωₙ כאשר הריסון אינו אפס.

    ωd=√(k/m−b²/(4m²)); ωᵣ=√(k/m−b²/(2m²))

    עוצרים לחשוב: נוסחת ωᵣ תקפה רק כאשר b²<2mk; אחרת תגובת ההעתק יורדת מן התדר אפס בלי שיא פנימי.

עכשיו רואים את השיטה בפעולה

דוגמאות פתורות, צעד אחר צעד

דוגמה 1

משרעת ופאזה בתדר נתון

עבור m=1,‏ b=0.4,‏ k=4 ו־F(t)=cos(1.5t), מצאו את התגובה המתמידה.

  1. מחשבים את החלק הממשי: k−mω²=4−1.5²=1.75.

  2. החלק המדומה הוא bω=0.4·1.5=0.6, ולכן |P(iω)|=√(1.75²+0.6²)=1.85.

  3. המשרעת היא A=1/1.85≈0.5405 והפאזה φ=atan2(0.6,1.75)≈0.330 רדיאנים.

  4. לכן yₚ≈0.5405cos(1.5t−0.330). פתרון מלא יוסיף yₕ כדי להתאים לתנאי ההתחלה.

התוצאה ומה היא אומרת

המערכת שומרת את תדר הכניסה 1.5, מקטינה את המשרעת ומאחרת את התגובה בכ־0.330 רדיאנים.

yₚ(t)≈0.5405cos(1.5t−0.330)
דוגמה 2

תהודה אידאלית ללא ריסון

מצאו פתרון פרטי של y″+4y=cos(2t).

  1. התדר הטבעי הוא ωₙ=2, זהה לתדר הכניסה, ולכן הניחוש A cos(2t) חופף לפתרון ההומוגני.

  2. מכפילים ב־t ומנסים yₚ=Ct sin(2t).

  3. הצבה נותנת yₚ″+4yₚ=4C cos(2t), ולכן C=1/4.

התוצאה ומה היא אומרת

המעטפת גדלה לינארית בזמן; זו אינה תנודה מתמידה בעלת משרעת קבועה.

yₚ(t)=t sin(2t)/4

איפה זה פוגש את העולם

יישום

סריקת תדרים חושפת באילו תדרים מתלה רכב, מבנה או רמקול מגבירים רעידות. כך אפשר לבחור ריסון שמקטין את שיא התגובה.

מלכודת נפוצה

מה כדאי לבדוק

לחפש פתרון מהצורה A cos(ωt) בלבד. כאשר b≠0, איבר הריסון יוצר גם sin(ωt), ולכן חייבים שני מקדמים או משרעת ופאזה מרוכבות.

בודקים שהרעיון יושב

תרגול ומשוב

בדיקת הבנה

בחרו תשובה ורק אז בדקו את עצמכם

במערכת יציבה אסימפטוטית, מה קורה לתדר של התגובה המתמידה כאשר משנים את פרמטרי המערכת אך משאירים את תדר הכוח ω קבוע?

בחרו אחת מהאפשרויות כדי להמשיך.

עכשיו אתם

אתגר קצר

עבור m=1,‏ b=0.5,‏ k=4 וכוח 2cos(2t), מצאו את המשרעת והפאזה של התגובה המתמידה. מה קורה לתשובה כאשר b שואף לאפס?

רמז ראשון

בתדר ω=2 החלק k−mω² מתאפס. נשאר רק המכנה המדומה i bω.

הצגת דרך הפתרון
  1. P(2i)=4−1·2²+i(0.5·2)=i, ולכן |P|=1 וזווית המכנה היא π/2.
  2. משרעת התגובה היא F₀/|P|=2, והשהיית הפאזה היא π/2.
  3. לכן yₚ=2cos(2t−π/2)=2sin(2t). כאשר b→0 המכנה שואף לאפס והמשרעת המחזורית אינה חסומה; בגבול המדויק מתקבלת תגובה הגדלה עם t.

מימוש הנושא

קוד שאפשר לקחת לניסוי

הקוד מיישם את אותו רעיון מתמטי. ב־JavaScript אפשר להריץ אותו כאן; גרסת Python זמינה להשוואה ולהעתקה.

הקשר למתמטיקה

forcedResponse מחשבת את החלקים הממשי והמדומה של P(iω); סריקת התדרים מחפשת את הנקודה שבה |H| גדול ביותר.

פלט צפוי

עבור ברירות המחדל השיא יופיע סביב ω≈1.98, מעט מתחת ל־ωₙ=2, עם משרעת בקירוב 1.26.

ניסוי המשך

שנו את damping מ־0.4 ל־0.8. עקבו אחר גובה השיא, רוחבו ומיקומו והסבירו כל שינוי דרך המכנה.

מהרעיון אל הקוד

מימוש חישובי

function forcedResponse(
  omega,
  { mass = 1, damping = 0.4, spring = 4, force = 1 } = {}
) {
  if (omega < 0 || mass <= 0 || damping < 0 || spring <= 0 || force <= 0) {
    throw new RangeError("invalid parameters");
  }
  const real = spring - mass * omega ** 2;
  const imaginary = damping * omega;
  return {
    amplitude: force / Math.hypot(real, imaginary),
    phaseLag: Math.atan2(imaginary, real),
  };
}

const scan = Array.from({ length: 401 }, (_, i) => i / 100)
  .map((omega) => ({ omega, ...forcedResponse(omega) }));
const peak = scan.reduce(
  (best, point) => point.amplitude > best.amplitude ? point : best
);
console.log(peak);

לפני שממשיכים

מה לוקחים מהשיעור

  • הצבה c=iω הופכת פתרון משוואה דיפרנציאלית לחישוב מספר מרוכב אחד.
  • התגובה המתמידה נשארת בתדר הכניסה; H(iω) קובע משרעת ופאזה.
  • תגובה מלאה היא תגובת מעבר ועוד מצב מתמיד.
  • תדר טבעי, תדר מרוסן ותדר שיא הם גדלים קרובים אך אינם זהים בדרך כלל.

משימת מעבדה לשיעור הזה

תחנה 3 — סריקת תדרים ותהודה

נבאו היכן תופיע תגובה גדולה, סרקו את יחס התדרים והשוו בין משרעת ההעתק לבין משרעת המהירות.

לפתיחת התחנה
מקורות להעמקה בלבד — השיעור עומד בפני עצמו

מדריך המרצים: עמ׳ 55–59

ספר הלימוד: עמ׳ 103–117