משוואות מסדר שני

מקדמים קבועים

Constant Coefficients A, B, C

פותרים באמצעות הפולינום האופייני ומסווגים לפי השורשים.

יחידת לימוד עצמאיתשיעור 3 מתוך 7כ־60 דקות כולל תרגול4 מטרות למידה

1
נקודת פתיחהמה כבר ידוע ומה השאלה?
2
ניבוימה יקרה במקרה הפשוט?
3
המחשהמה באמת משתנה בתמונה?
4
ניסוח והצדקהשם, נוסחה ולמה היא נכונה
5
בדיקהדוגמה, תרגול ומשוב
6
העברהמקרה חדש והמשך המסלול

שאלה לפני נוסחה

מה אנחנו מנסים לראות?

לתרגם Ay″+By′+Cy=0 לפולינום אופייני, לסווג את שורשיו ולבנות מהם את כל צורות הפתרון.

המעריך eʳᵗ שומר על צורתו בגזירה ורק מוכפל ב־r. לכן אופרטור דיפרנציאלי בעל מקדמים קבועים הופך לפולינום ב־r.

לפני ההמחשה: קראו רק את הכותרת “השורשים מציירים את התנועה”. מה לדעתכם ישתנה, מה יישאר קבוע, ואיזה סימן בתמונה יוכל להפריך את הניבוי?

לראות לפני שמחשבים · המקרה הפשוט ביותר

השורשים מציירים את התנועה

עקבו מהצורה הראשונית אל התוצאה

מפת השורשים וגרף זמן משותף מקשרים שלושה משטרים: שני שורשים ממשיים, שורש כפול וזוג צמוד היוצר תנודה דועכת.

מה כדאי לגלות: עקבו אחרי החלק הממשי והחלק המדומה: איזה מהם קובע אם המעטפת גדלה או דועכת, ואיזה מהם קובע אם הגרף חוצה את האפס שוב ושוב?

אחרי שראינו

בסוף השיעור תוכלו

לבנות את הפולינום האופייני של משוואה הומוגנית בעלת מקדמים קבועים ולחשב את שורשיו.
לבחור את צורת הפתרון המתאימה לשני שורשים ממשיים, לשורש כפול או לזוג מרוכב צמוד.
להשתמש בשני תנאי התחלה כדי לקבוע את הקבועים ולבדוק את הפתרון במשוואה המקורית.
לקשור בין מיקום השורשים במישור לבין יציבות, תנודה וסוג הריסון של מערכת מכנית.

נותנים שמות למה שראינו

מושגים שנשתמש בהם

פולינום אופייני: הפולינום P(r)=Ar²+Br+C המתקבל מהצבת y=eʳᵗ במשוואה ההומוגנית.
שורש אופייני: מספר r שמקיים P(r)=0 ומייצר אופן תנועה eʳᵗ.
דיסקרימיננטה Δ: המספר B²−4AC הקובע אם השורשים ממשיים שונים, כפולים או מרוכבים.
ריבוי של שורש: מספר הפעמים שהגורם (r−r₀) מופיע בפולינום; שורש כפול דורש גם te^(r₀t).
אופן תנועה: רכיב בסיסי של הפתרון הקשור לשורש אחד; הפתרון הכללי הוא צירוף של האופנים.
קצב דעיכה p: במודל מכני p=b/(2m); בתת־ריסון הוא גודל החלק הממשי השלילי של השורשים.
תדירות מרוסנת ωd: תדר התנודה לאחר הוספת ריסון: ωd=√(ωₙ²−p²), כאשר p<ωₙ.

מהמילים אל הסימנים

כותבים את הפעולה שכבר ראינו

פתחו את הנוסחה רק אחרי שאתם יכולים לומר במילים מה כל פעולה אמורה לעשות. בשלב הבא נצדיק אותה צעד אחר צעד.

להצגת נוסחת המפתח

קראו כל סימן כפעולה, לא כמשהו שצריך לשנןAr² + Br + C = 0

מרכיבים את הפעולות

מהתמונה אל הנוסחה — הגזירה, בלי לדלג על הצעדים

מגדירים את הבעיה
נעסוק ב־Ay″+By′+Cy=0 עם מקדמים ממשיים קבועים ו־A≠0. הקביעות היא שמאפשרת לחפש פונקציה שגזירה רק מכפילה אותה במספר.
Ay''+By'+Cy=0, A≠0
מציבים מעריך
עבור y=e^(rt), הנגזרות הן re^(rt) ו־r²e^(rt). האקספוננט לעולם אינו אפס, ולכן אפשר לחלק בו ולהישאר עם משוואה אלגברית.
P(r)=Ar²+Br+C=0
הדיסקרימיננטה ממיינת את השורשים
נוסחת השורשים נותנת שני ערכים, והסימן של Δ קובע את סוגם. כל סוג דורש בסיס פתרונות מעט שונה.
Δ=B²−4AC, r₁,₂=(−B±√Δ)/(2A)
שני שורשים ממשיים שונים
כאשר Δ>0 מתקבלים שני מעריכים שונים. אף אחד מהם אינו כפולה קבועה של האחר, ולכן שני הקבועים מאפשרים להתאים שני תנאי התחלה.
Δ>0 ⇒ y=c₁e^(r₁t)+c₂e^(r₂t)
שורש כפול זקוק לפתרון שני
כאשר Δ=0, שני המעריכים מתלכדים. הפונקציה te^(rt) היא פתרון נוסף; גזירה ישירה והצבה מאשרות זאת כאשר P(r)=P′(r)=0.
Δ=0, r=−B/(2A) ⇒ y=(c₁+c₂t)e^(rt)
עוצרים לחשוב: הגורם t אינו קשור לתנאי ההתחלה; הוא נדרש כדי לקבל שני פתרונות בלתי־תלויים.
זוג מרוכב הופך לפתרון ממשי
כאשר Δ<0 השורשים הם α±iβ. נוסחת אוילר מפרידה את המעריך לחלק דועך או גדל ולסינוס וקוסינוס.
r=α±iβ ⇒ y=e^(αt)[c₁cos(βt)+c₂sin(βt)]
מתאימים תנאי התחלה
במקרה של שורשים ממשיים שונים מציבים t=0 גם בפתרון וגם בנגזרתו. מתקבלת מערכת של שתי משוואות בשני הקבועים.
c₁+c₂=y₀, r₁c₁+r₂c₂=v₀
קוראים ריסון מן השורשים
במודל my″+by′+ky=0 עם m>0,‏ k>0 ו־b≥0 מגדירים p=b/(2m) ו־ωₙ=√(k/m). השוואת p ל־ωₙ קובעת את צורת החזרה לאפס.
r=−p±√(p²−ωₙ²): p=0 none, 0<p<ωₙ under, p=ωₙ critical, p>ωₙ over
החלק הממשי קובע יציבות
שורשים שכל חלקיהם הממשיים שליליים יוצרים דעיכה לאפס. שורש בעל חלק ממשי חיובי יוצר גידול. שורשים על הציר המדומה הם מקרה גבול: שורשים פשוטים יוצרים תנודה קבועה, אך שורש חוזר עלול להוסיף גידול פולינומי.
Re(r)<0: decay ; Re(r)=0: boundary ; Re(r)>0: growth
עוצרים לחשוב: אם b<0 מתקבל ריסון שלילי; גם זוג שורשים מרוכב יכול אז לגדול במקום לדעוך.

עכשיו רואים את השיטה בפעולה

דוגמאות פתורות, צעד אחר צעד

דוגמה 1

שני אופני דעיכה

פתרו 2y″+10y′+8y=0 עם y(0)=3 ו־y′(0)=−1.

הפולינום האופייני הוא 2r²+10r+8=2(r+1)(r+4), ולכן r₁=−1 ו־r₂=−4.
כותבים y=c₁e^(−t)+c₂e^(−4t).
מתנאי המיקום מתקבל c₁+c₂=3, ומתנאי המהירות מתקבל −c₁−4c₂=−1.
פתרון המערכת נותן c₁=11/3 ו־c₂=−2/3.
שני השורשים שליליים, ולכן שני האופנים דועכים והפתרון מתקרב לאפס ללא תנודה מתמשכת.

התוצאה ומה היא אומרת

התגובה היא סכום של דעיכה איטית בקצב 1 ודעיכה מהירה בקצב 4.

y(t)=(11/3)e^(−t)−(2/3)e^(−4t)

דוגמה 2

השורש הכפול אינו שני עותקים

פתרו y″+6y′+9y=0 עם y(0)=2 ו־y′(0)=0.

הפולינום הוא (r+3)², ולכן r=−3 הוא שורש כפול.
הפתרון הכללי הוא y=(C+Dt)e^(−3t), ולא C₁e^(−3t)+C₂e^(−3t).
מתנאי המיקום C=2. גזירה נותנת y′=[D−3(C+Dt)]e^(−3t).
ב־t=0 מתקבל 0=D−3C, ולכן D=6.

התוצאה ומה היא אומרת

הגורם t מספק את דרגת החופש השנייה הנדרשת להתאמת המהירות.

y(t)=(2+6t)e^(−3t)

איפה זה פוגש את העולם

יישום

בחירת מקדם ריסון מאפשרת לשלוט אם מערכת תחזור לאיזון בתנודה, במהירות מרבית ללא תנודה או באיטיות ללא חריגה.

מלכודת נפוצה

מה כדאי לבדוק

להפוך בין תת־ריסון לריסון־יתר או להשמיט את t בשורש כפול. עבור m,k>0 ו־c>0 דווקא Δ<0 יוצר זוג מרוכב ותנודה דועכת; כאשר c=0 התנודה אינה דועכת.

בודקים שהרעיון יושב

תרגול ומשוב

בדיקת הבנה

בחרו תשובה ורק אז בדקו את עצמכם

מהי צורת הפתרון כאשר לפולינום האופייני יש שורש כפול r?

(c₁+c₂t)eʳᵗc₁eʳᵗ+c₂eʳᵗeʳᵗ(c₁cos(rt)+c₂sin(rt))

בחרו אחת מהאפשרויות כדי להמשיך.

עכשיו אתם

אתגר קצר

פתרו y″+4y′+13y=0 עם y(0)=1 ו־y′(0)=0, וסווגו את הריסון.

רמז ראשון

השורשים הם מן הצורה α±iβ. לאחר שתכתבו y=e^(αt)(Ccosβt+Dsinβt), הציבו את שני תנאי ההתחלה גם ב־y וגם ב־y′.

הצגת דרך הפתרון

הפולינום r²+4r+13 נותן Δ=16−52=−36 ושורשים r=−2±3i.
לכן y=e^(−2t)[Ccos(3t)+Dsin(3t)].
מן התנאי y(0)=1 מקבלים C=1. גזירה בזמן אפס נותנת y′(0)=−2C+3D=0, ולכן D=2/3.
הפתרון הוא y=e^(−2t)[cos(3t)+(2/3)sin(3t)]. השורשים המרוכבים בעלי חלק ממשי שלילי מתארים תת־ריסון ותנודה דועכת.

מימוש הנושא

קוד שאפשר לקחת לניסוי

הקוד מיישם את אותו רעיון מתמטי. ב־JavaScript אפשר להריץ אותו כאן; גרסת Python זמינה להשוואה ולהעתקה.

הקשר למתמטיקה

characteristic מחשבת את הדיסקרימיננטה, בוחרת את סוג השורשים ומחזירה לכל שורש חלק ממשי ומדומה שאפשר לקשר לצורת התנועה.

פלט צפוי

עבור A=1,‏ B=4,‏ C=13 יתקבל conjugate pair עם השורשים (−2,3) ו־(−2,−3).

ניסוי המשך

השאירו A=1 ו־C=13 והריצו עבור B=0,‏ B=2*Math.sqrt(13) וב־B=10. נבאו מתי השורשים נפרדים, נפגשים והופכים לממשיים.

מהרעיון אל הקוד

מימוש חישובי

function characteristic(A, B, C, tolerance=1e-12) {
  if (Math.abs(A) < tolerance) throw new RangeError("A must be nonzero");
  let delta = B**2 - 4*A*C;
  const scale = Math.max(1, Math.abs(B**2), Math.abs(4*A*C));
  if (Math.abs(delta) <= tolerance*scale) delta = 0;
  const alpha = -B/(2*A);

  if (delta === 0) {
    return { delta, kind: "repeated real", roots: [{re: alpha, im: 0}, {re: alpha, im: 0}] };
  }
  if (delta > 0) {
    const offset = Math.sqrt(delta)/(2*A);
    return { delta, kind: "distinct real", roots: [{re: alpha+offset, im: 0}, {re: alpha-offset, im: 0}] };
  }
  const beta = Math.sqrt(-delta)/(2*Math.abs(A));
  return { delta, kind: "conjugate pair", roots: [{re: alpha, im: beta}, {re: alpha, im: -beta}] };
}

console.log(characteristic(1, 4, 13));

from cmath import sqrt

def characteristic(A, B, C, tolerance=1e-12):
    if abs(A) < tolerance:
        raise ValueError("A must be nonzero")
    delta = B*B - 4*A*C
    scale = max(1.0, abs(B*B), abs(4*A*C))
    if abs(delta) <= tolerance*scale:
        delta = 0.0
    roots = ((-B + sqrt(delta))/(2*A),
             (-B - sqrt(delta))/(2*A))
    kind = ("repeated real" if delta == 0 else
            "distinct real" if delta > 0 else "conjugate pair")
    return {"delta": delta, "kind": kind, "roots": roots}

print(characteristic(1, 4, 13))

לפני שממשיכים

מה לוקחים מהשיעור

הצבת eʳᵗ הופכת משוואה דיפרנציאלית בעלת מקדמים קבועים לבעיה אלגברית בשורשים.
סוג השורשים קובע את בסיס הפתרון; שורש כפול מחייב גורם t וזוג מרוכב מחייב sin ו־cos.
שני תנאי התחלה קובעים את שני הקבועים, והחלקים הממשיים של השורשים קובעים יציבות ודעיכה.
במערכת מכנית פיזיקלית, השוואת b² ל־4mk מפרידה בין תת־ריסון, ריסון קריטי וריסון־יתר.

משימת מעבדה לשיעור הזה

תחנה 2 — שורשים וצורת התנועה

שנו את יחס הריסון, נבאו את סוג השורשים לפני הבדיקה וקשרו בין תנועתם במישור לבין חציות האפס והדעיכה בגרף הזמן.

לפתיחת התחנה

מקורות להעמקה בלבד — השיעור עומד בפני עצמו

מדריך המרצים: עמ׳ 50–54

ספר הלימוד: עמ׳ 90–102

מה אנחנו מנסים לראות?

השורשים מציירים את התנועה

בסוף השיעור תוכלו

מושגים שנשתמש בהם

כותבים את הפעולה שכבר ראינו

מהתמונה אל הנוסחה — הגזירה, בלי לדלג על הצעדים

מגדירים את הבעיה

מציבים מעריך

הדיסקרימיננטה ממיינת את השורשים

שני שורשים ממשיים שונים

שורש כפול זקוק לפתרון שני

זוג מרוכב הופך לפתרון ממשי

מתאימים תנאי התחלה

קוראים ריסון מן השורשים

החלק הממשי קובע יציבות