פרק 2: משוואות מסדר שני

מפת הפרק

7 תחנות בדרך

7 יחידות לימוד עצמאיות · כ־7 שעות ו־10 דקות לשיעורים ולתרגול

2.1
יחידת לימוד50 דקות
נגזרות שניות במדע ובהנדסה
שאלה 1: מה ננסה להבין?
מכוח ותאוצה ועד קפיץ: בניית מודל מסדר שני מתוך חוק פיזיקלי.
לשיעור
2.2
יחידת לימוד55 דקות
מספרים מרוכבים — הכלים החשובים
שאלה 2: מה ננסה להבין?
מודול, פאזה, נוסחת אוילר ושורשים מרוכבים כשפה טבעית לתנודות.
לשיעור
2.3
יחידת לימוד60 דקות
מקדמים קבועים
שאלה 3: מה ננסה להבין?
פותרים באמצעות הפולינום האופייני ומסווגים לפי השורשים.
לשיעור
2.4
יחידת לימוד65 דקות
תנודות מאולצות ותגובה מעריכית
שאלה 4: מה ננסה להבין?
כוח חיצוני, תגובת steady state, מעבר ורזוננס.
לשיעור
2.5
יחידת לימוד55 דקות
רשתות חשמל ומערכות מכניות
שאלה 5: מה ננסה להבין?
מגלים שמסה–קפיץ ומעגל RLC חולקים אותה מתמטיקה.
לשיעור
2.6
יחידת לימוד75 דקות
מבנה הפתרון
שאלה 6: מה ננסה להבין?
פונקציות גרין, תנאי התחלה וחיבור תגובות למקורות שונים.
לשיעור
2.7
יחידת לימוד70 דקות
התמרת לפלס
שאלה 7: מה ננסה להבין?
מעבירים נגזרות למשוואה אלגברית ומטפלים ב־step וב־impulse באופן אחיד.
לשיעור

ביד, שלב אחר שלב

קפיץ עם חיכוך

נתונה y″ + 0.6y′ + 4y = 0, עם y(0)=1 ו־y′(0)=0.

1
המשוואה האופיינית היא r²+0.6r+4=0.
2
השורשים הם ‎−0.3 ± i√3.91, ולכן התנועה מתנודדת ודועכת.
3
כותבים y=e⁻⁰·³ᵗ(C cos ωt + D sin ωt), עם ω=√3.91.
4
מתנאי ההתחלה מתקבלים C=1 ו־D=0.3/ω.

תוצאהy(t)=e⁻⁰·³ᵗ(cos(√3.91t)+0.3/√3.91·sin(√3.91t))

ניבוי, ניסוי והסבר

מעבדת חקר: משורשים לתנודה, תהודה ותגובה

התחילו מתחנה אחת, נבאו את התוצאה ורק אז שנו פרמטר. בכל תחנה תקבלו משוב וקישור לשיעור שעליו היא בנויה.

נבאו, בדקו והסבירו: תנודה ואנרגיה, משטרי ריסון, תהודה ו־RLC, הלם ולפלס.

המעבדה מחברת את כל הפרק למסלול אחד: מצב התחלתי יוצר תנודה, השורשים מסווגים אותה, מקור מחזורי חושף תהודה, והתגובה למקור כללי נבנית באמצעות גרין ולפלס. בכל תחנה מנבאים לפני שמשנים עד שלושה פרמטרים.

תחנה 1 מתוך 4

ממצב לתנודה ולפאזור

המטרה: לחבר בין מיקום, מהירות ותאוצה; לראות כיצד שני תנאי התחלה הופכים לרדיוס ולפאזה.
המשימה: נבאו את כיוון התנועה, שנו את y₀ ואת v₀, ואז הזיזו את הזמן והשוו בין גל ההעתק למעגל המצב.

העתק y(t)
מסלול המצב
המצב בזמן הנבחר

בזמן t=0.8 מתקבלים y=-0.029, v=-1.999 ו־a=0.117; ההעתק קטן. האנרגיה מתחלקת ל־Eₖ=1.998 ו־Eₚ=0.002. נקודת המצב נשארת על מעגל ברדיוס קבוע ומסתובבת בכיוון השעון.

בניסוי זה m=1, k=4, ωₙ=2 rad/time.

העתק התחלתי y₀1

מהירות התחלתית v₀0

זמן לבדיקה t0.8

y=y₀cos(ωₙt)+(v₀/ωₙ)sin(ωₙt)

העתק y: -0.029
מהירות v: -1.999
תאוצה a: 0.117
רדיוס R: 1.000
פאזה α: 0.000 rad
קינטית Eₖ: 1.998
אלסטית Eₚ: 0.002
כוללת E: 2.000

בזמן t=0.8 מתקבלים y=-0.029, v=-1.999 ו־a=0.117; ההעתק קטן. האנרגיה מתחלקת ל־Eₖ=1.998 ו־Eₚ=0.002. נקודת המצב נשארת על מעגל ברדיוס קבוע ומסתובבת בכיוון השעון.

עכשיו בקוד

אותו רעיון, כאלגוריתם

הקוד קצר בכוונה: כל שורה מקבילה לצעד בחישוב הידני.

מהרעיון אל הקוד

מימוש חישובי

function oscillator(t, damping = 0.6, spring = 4) {
  const alpha = damping / 2;
  const omegaSquared = spring - alpha ** 2;
  if (omegaSquared <= 0) {
    throw new RangeError("this formula requires an underdamped system");
  }
  const omega = Math.sqrt(omegaSquared);
  return Math.exp(-alpha * t) *
    (Math.cos(omega * t) + alpha / omega * Math.sin(omega * t));
}

console.table([0, 1, 2, 3].map((t) => ({
  t,
  y: oscillator(t),
})));

import numpy as np

def oscillator(t, damping=0.6, spring=4):
    alpha = damping / 2
    omega_squared = spring - alpha**2
    if omega_squared <= 0:
        raise ValueError("this formula requires an underdamped system")
    omega = np.sqrt(omega_squared)
    return np.exp(-alpha*t) * (
        np.cos(omega*t) + alpha/omega*np.sin(omega*t)
    )

for t in (0, 1, 2, 3):
    print(t, oscillator(t))

משוואות מסדר שני

7 תחנות בדרך

נגזרות שניות במדע ובהנדסה

מספרים מרוכבים — הכלים החשובים

מקדמים קבועים

תנודות מאולצות ותגובה מעריכית

רשתות חשמל ומערכות מכניות

מבנה הפתרון

התמרת לפלס