דילוג לתוכן הראשי
מרחב חימתמטיקה בתנועה
תפריט
2.1

משוואות מסדר שני

נגזרות שניות במדע ובהנדסה

Second Derivatives in Science and Engineering

מכוח ותאוצה ועד קפיץ: בניית מודל מסדר שני מתוך חוק פיזיקלי.

יחידת לימוד עצמאיתשיעור 1 מתוך 7כ־50 דקות כולל תרגול3 מטרות למידה
  1. 1
    נקודת פתיחהמה כבר ידוע ומה השאלה?
  2. 2
    ניבוימה יקרה במקרה הפשוט?
  3. 3
    המחשהמה באמת משתנה בתמונה?
  4. 4
    ניסוח והצדקהשם, נוסחה ולמה היא נכונה
  5. 5
    בדיקהדוגמה, תרגול ומשוב
  6. 6
    העברהמקרה חדש והמשך המסלול

שאלה לפני נוסחה

מה אנחנו מנסים לראות?

לבנות משוואה מסדר שני מחוק פיזיקלי, לפרש את y,‏ y′ ו־y″ ולפתור תנודה חופשית בעזרת מיקום ומהירות התחלתיים.

מיקום לבדו אינו מתאר את מצב המערכת: באותה נקודה הגוף יכול לנוע בשני כיוונים. קפיץ ממיר סטייה לתאוצה בכיוון ההפוך, וכך נוצרת תנודה.

לפני ההמחשה: קראו רק את הכותרת “אותו מצב בשלוש שפות”. מה לדעתכם ישתנה, מה יישאר קבוע, ואיזה סימן בתמונה יוכל להפריך את הניבוי?

לראות לפני שמחשבים · המקרה הפשוט ביותר

אותו מצב בשלוש שפות

מיקום ומהירות מתארים יחד את מצב התנודהy, v/ωtv/ωyE = ½mω²R² נשארת קבועהמיקום — קו מלאמהירות מנורמלת — מקווקו
עקבו מהצורה הראשונית אל התוצאה

גרף הזמן מסנכרן מיקום ומהירות מנורמלת עם נקודה במישור המצב (y,y′/ωₙ); רדיוס המעגל מייצג את המשרעת ואת האנרגיה הקבועה.

מה כדאי לגלות: עקבו מן הגרף אל המעגל: מה מתאפס בקצה התנודה ומה מתאפס במעבר דרך שיווי המשקל, ומדוע המרחק מן הראשית נשאר קבוע?

אחרי שראינו

בסוף השיעור תוכלו

  • לתרגם תיאור של מסה וקפיץ למשוואה my″+ky=0 ולבדוק את היחידות בכל איבר.
  • לפתור תנודה חופשית מתנאי התחלה y(0),‏ y′(0) ולחשב תדירות, מחזור ומשרעת.
  • להסביר כיצד האנרגיה עוברת בין הקפיץ למסה ומדוע הסכום נשמר ללא חיכוך.

נותנים שמות למה שראינו

מושגים שנשתמש בהם

מיקום y(t)
הסטייה של הגוף מנקודת שיווי המשקל; יחידותיה יחידות אורך.
מהירות y′(t)
קצב שינוי המיקום; הסימן מציין את כיוון התנועה.
תאוצה y″(t)
קצב שינוי המהירות; לפי חוק ניוטון הכוח הכולל שווה ל־my″.
מצב המערכת
הזוג (y,y′) ברגע נתון. הוא מספק את שני הנתונים הדרושים למשוואה מסדר שני.
בולם b
רכיב שמפעיל כוח −by′ נגד כיוון המהירות ומפזר אנרגיה; b≥0 במודל פסיבי.
תדירות זוויתית טבעית ωₙ
קצב התנודה ברדיאנים ליחידת זמן: ωₙ=√(k/m).
מחזור T
הזמן להשלמת תנודה אחת: T=2π/ωₙ.
משרעת R
הסטייה המרבית מן האפס בתנודה הבלתי־מרוסנת.

מהמילים אל הסימנים

כותבים את הפעולה שכבר ראינו

פתחו את הנוסחה רק אחרי שאתם יכולים לומר במילים מה כל פעולה אמורה לעשות. בשלב הבא נצדיק אותה צעד אחר צעד.

להצגת נוסחת המפתחקראו כל סימן כפעולה, לא כמשהו שצריך לשנןmy″ + by′ + ky = f(t)

מרכיבים את הפעולות

מהתמונה אל הנוסחה — הגזירה, בלי לדלג על הצעדים

  1. מדוע נדרשים שני נתוני התחלה?

    המשוואה תקבע את התאוצה מתוך המצב הנוכחי. כדי לדעת מה יקרה ברגע הבא צריך לדעת גם היכן הגוף וגם לאיזה כיוון ובאיזו מהירות הוא נע.

    state at t₀ = (y(t₀), y'(t₀))

    עוצרים לחשוב: אותו y₀ עם שתי מהירויות התחלתיות שונות יוצר שני פתרונות שונים.

  2. מאזן הכוחות

    מסמנים ב־y את הסטייה משיווי המשקל. חוק הוק נותן כוח −ky, שמנוגד לסטייה, וחוק ניוטון נותן כוח כולל my″. ללא חיכוך וללא כוח חיצוני משווים ביניהם.

    my'' = -ky ⇒ my'' + ky = 0

  3. ממקמים את המקרה הפשוט במודל הכללי

    בולם מוסיף כוח −by′ ומקור חיצוני מוסיף f(t). כך מתקבלת משוואת הפרק הכללית; בשיעור זה נתמקד תחילה במקרה החופשי ללא ריסון, b=0 ו־f=0.

    my''+by'+ky=f(t)

    עוצרים לחשוב: לכל שלושת האיברים באגף שמאל יש יחידות כוח; לכן [b]=mass/time ו־[k]=mass/time².

  4. מזהים את קצב התנודה

    מחלקים במסה החיובית m. היחס k/m בעל יחידות 1/זמן², ולכן השורש שלו הוא תדירות זוויתית. מחזור שלם מתאים לשינוי זווית של 2π.

    ωₙ = √(k/m), y'' + ωₙ²y = 0, T = 2π/ωₙ

  5. בונים שני פתרונות בלתי־תלויים

    הנגזרת השנייה של cos(ωₙt) ושל sin(ωₙt) היא −ωₙ² כפול הפונקציה. כל צירוף לינארי שלהם פותר את המשוואה, ושני הקבועים יאפשרו להתאים שני תנאי התחלה.

    y(t) = C cos(ωₙt) + D sin(ωₙt)

  6. מכניסים מיקום ומהירות התחלתיים

    ב־t=0 מתקבלים cos0=1 ו־sin0=0. גוזרים פעם אחת כדי להשתמש במהירות v₀, וכך מוצאים את שני הקבועים בלי לפתור מערכת מסובכת.

    C=y₀, D=v₀/ωₙ ⇒ y=y₀cos(ωₙt)+(v₀/ωₙ)sin(ωₙt)

  7. עוברים למשרעת ולפאזה

    אפשר לאחד את מקדמי הקוסינוס והסינוס לתנודה אחת מוזזת. אם C=Rcosφ ו־D=Rsinφ, אז R הוא המרחק המרבי משיווי המשקל ו־φ קובע היכן במחזור מתחילים.

    R=√(C²+D²), φ=atan2(D,C), y=Rcos(ωₙt−φ)

  8. מוכיחים שימור אנרגיה

    האנרגיה הקינטית היא ½my′² והאנרגיה האלסטית היא ½ky². גזירת הסכום מוציאה גורם y′, והמשוואה עצמה מאפסת את הגורם השני.

    E=½my'²+½ky², E'=y'(my''+ky)=0

    עוצרים לחשוב: בקצות התנודה y′=0 וכל האנרגיה בקפיץ; במעבר דרך y=0 כל האנרגיה קינטית.

עכשיו רואים את השיטה בפעולה

דוגמה פתורה, צעד אחר צעד

דוגמה 1

מתנאי ההתחלה לתנועה שלמה

מסה m=0.5 kg מחוברת לקפיץ k=8 N/m. ברגע t=0 היא נמצאת ב־y₀=0.06 m ונעה במהירות v₀=0.4 m/s. מצאו את הפתרון, המחזור, המשרעת והאנרגיה.

  1. התדירות הטבעית היא ωₙ=√(8/0.5)=4 rad/s, ולכן המחזור T=2π/4=π/2≈1.571 s.

  2. מן התנאים מתקבלים C=y₀=0.06 ו־D=v₀/ωₙ=0.4/4=0.10.

  3. לכן y(t)=0.06cos(4t)+0.10sin(4t) במטרים.

  4. המשרעת היא R=√(0.06²+0.10²)=√0.0136≈0.1166 m.

  5. מחשבים בזמן ההתחלה: E=½·0.5·0.4²+½·8·0.06²=0.0544 J. ערך זה נשמר בכל זמן.

התוצאה ומה היא אומרת

המסה משלימה תנודה בכל π/2 שניות בין ±0.1166 m, תוך החלפת אנרגיה בין תנועה למתיחת הקפיץ.

y(t)=0.06cos(4t)+0.10sin(4t), E=0.0544 J

איפה זה פוגש את העולם

יישום

המודל משמש לתיאור רעידות מבנים, מדי תאוצה ומטוטלות קטנות. חיכוך מוסיף by′ וכוח חיצוני מוסיף f(t).

מלכודת נפוצה

מה כדאי לבדוק

לכתוב my″=ky אף שכוח הקפיץ מנוגד לסטייה, או להגדיר ωₙ=k/m במקום √(k/m).

בודקים שהרעיון יושב

תרגול ומשוב

בדיקת הבנה

בחרו תשובה ורק אז בדקו את עצמכם

אם y(0)=0 ו־y′(0)>0 בתנודה חופשית, איזו צורת פתרון מתאימה?

בחרו אחת מהאפשרויות כדי להמשיך.

עכשיו אתם

אתגר קצר

עבור m=2,‏ k=18,‏ y(0)=0.1 ו־y′(0)=−0.3, מצאו את התדירות, הפתרון, המשרעת והאנרגיה.

רמז ראשון

חשבו תחילה ωₙ=√(k/m). לאחר מכן C=y₀ ו־D=v₀/ωₙ; את המשרעת מוצאים מ־√(C²+D²) ואת האנרגיה נוח לחשב ב־t=0.

הצגת דרך הפתרון
  1. ωₙ=√(18/2)=3 rad/s, ולכן T=2π/3 s.
  2. C=0.1 ו־D=−0.3/3=−0.1, ולכן y(t)=0.1cos(3t)−0.1sin(3t).
  3. R=√(0.1²+(−0.1)²)=√0.02≈0.1414.
  4. E=½·2·(−0.3)²+½·18·0.1²=0.09+0.09=0.18 ביחידות אנרגיה.

מימוש הנושא

קוד שאפשר לקחת לניסוי

הקוד מיישם את אותו רעיון מתמטי. ב־JavaScript אפשר להריץ אותו כאן; גרסת Python זמינה להשוואה ולהעתקה.

הקשר למתמטיקה

oscillator מחשבת ישירות את נוסחת תנאי ההתחלה, גוזרת אותה למהירות ובודקת בכל דגימה את סכום האנרגיות.

פלט צפוי

בטבלה y ו־v ישתנו, אך עמודת energy תישאר קרובה מאוד ל־0.18 בכל ארבעת הזמנים.

ניסוי המשך

שנו את v0 לאפס והריצו שוב. נבאו קודם את המשרעת ואת האנרגיה, ובדקו היכן נמצאת המסה בזמן רבע מחזור.

מהרעיון אל הקוד

מימוש חישובי

function oscillator(t, mass=2, spring=18, y0=0.1, v0=-0.3) {
  if (mass <= 0 || spring <= 0) {
    throw new RangeError("positive parameters required");
  }
  const omega = Math.sqrt(spring / mass);
  const y = y0*Math.cos(omega*t) + (v0/omega)*Math.sin(omega*t);
  const v = -omega*y0*Math.sin(omega*t) + v0*Math.cos(omega*t);
  const energy = 0.5*mass*v**2 + 0.5*spring*y**2;
  return { t, y, v, energy };
}

console.table([0, .5, 1, 1.5].map((t) => oscillator(t)));

לפני שממשיכים

מה לוקחים מהשיעור

  • מצב של מערכת מסדר שני נקבע על ידי מיקום ומהירות, ולכן דרושים שני תנאי התחלה.
  • היחס k/m קובע את ריבוע התדירות הטבעית, והמחזור הוא 2π/ωₙ.
  • ללא חיכוך האנרגיה הכוללת קבועה, אף שהיא עוברת ללא הרף בין הקפיץ למסה.

משימת מעבדה לשיעור הזה

תחנה 1 — מצב, תנודה ופאזור

בחרו מיקום ומהירות התחלתיים, נבאו את הסימנים של y′ ו־y″ אחרי רבע מחזור ובדקו כיצד האנרגיה נעה בין המסה לקפיץ.

לפתיחת התחנה
מקורות להעמקה בלבד — השיעור עומד בפני עצמו

מדריך המרצים: עמ׳ 40–45

ספר הלימוד: עמ׳ 73–81