התמרות פורייה ולפלס

טורי פורייה ואורתוגונליות

Fourier Series

מקרינים פונקציה מחזורית על סינוסים וקוסינוסים. הסימטריה קובעת אילו מקדמים נעלמים, קצב דעיכת המקדמים חושף את החלקות, ו־Parseval מחלק את האנרגיה בין התדרים.

יחידת לימוד עצמאיתשיעור 1 מתוך 6כ־75 דקות כולל תרגול3 מטרות למידה

1
נקודת פתיחהמה כבר ידוע ומה השאלה?
2
ניבוימה יקרה במקרה הפשוט?
3
המחשהמה באמת משתנה בתמונה?
4
ניסוח והצדקהשם, נוסחה ולמה היא נכונה
5
בדיקהדוגמה, תרגול ומשוב
6
העברהמקרה חדש והמשך המסלול

שאלה לפני נוסחה

מה אנחנו מנסים לראות?

לפרק פונקציה מחזורית לרכיבי תדר אורתוגונליים, לחשב מקדמים מן ההגדרה, ולנבא סימטריה, התכנסות, גיבס ואנרגיה מתוך התנהגות המקדמים.

צליל מורכב אינו תדר אחד, אך אפשר לשאול כמה מכל תו טהור הוא מכיל. האורתוגונליות מבטיחה שמדידת תדר k אינה מזדהמת מתדר n≠k. חיבור כל המדידות מחזיר את האות, בדיוק כמו חיבור קואורדינטות בבסיס.

לפני ההמחשה: קראו רק את הכותרת “יעד חד וסכום של גלים חלקים”. מה לדעתכם ישתנה, מה יישאר קבוע, ואיזה סימן בתמונה יוכל להפריך את הניבוי?

לראות לפני שמחשבים · המקרה הפשוט ביותר

יעד חד וסכום של גלים חלקים

עקבו מהצורה הראשונית אל התוצאה

האיור מציג גל ריבועי ולצדו סכום חלקי של סינוסים אי־זוגיים, כולל התנודות הסמוכות לקפיצה.

מה כדאי לגלות: עקבו אחר אזור הקפיצה כאשר מספר האיברים גדל: המעבר נעשה צר יותר, אך השיא הראשון אינו יורד לאפס.

אחרי שראינו

בסוף השיעור תוכלו

לגזור את נוסחאות המקדמים בעזרת אורתוגונליות על מחזור מלא.
להשתמש בזוגיות ובאי־זוגיות כדי לקבוע מראש אילו מקדמים מתאפסים.
לקשור בין קפיצות, קצב דעיכת המקדמים, תופעת גיבס וזהות Parseval.

נותנים שמות למה שראינו

מושגים שנשתמש בהם

מחזור 2π: פונקציה המקיימת f(x+2π)=f(x); קטע אחד באורך 2π קובע את כל ההמשך.
הרמוניה n: הזוג cos(nx), sin(nx), המתנודד n פעמים בכל מחזור בסיסי.
מקדם פורייה: היטל הפונקציה על הרמוניה אחת, המחושב באמצעות אינטגרל של מכפלה.
סכום חלקי Sₙ: קירוב שמחזיק מספר סופי של תדרים ומאפשר לבחון התכנסות.
תופעת גיבס: overshoot מתמשך סמוך לקפיצה; רוחב האזור קטן אך גובהו היחסי אינו נעלם.
זהות Parseval: שוויון בין אנרגיית הפונקציה במרחב x לבין סכום ריבועי מקדמי התדר.

מהמילים אל הסימנים

כותבים את הפעולה שכבר ראינו

פתחו את הנוסחה רק אחרי שאתם יכולים לומר במילים מה כל פעולה אמורה לעשות. בשלב הבא נצדיק אותה צעד אחר צעד.

להצגת נוסחת המפתח

קראו כל סימן כפעולה, לא כמשהו שצריך לשנןf(x)=a₀+Σₖ≥1(aₖcos kx+bₖsin kx)

מרכיבים את הפעולות

מהתמונה אל הנוסחה — הגזירה, בלי לדלג על הצעדים

בוחרים מכפלה פנימית
על מחזור מלא מודדים דמיון בין שתי פונקציות באמצעות אינטגרל המכפלה. זוהי הגרסה הרציפה של מכפלה סקלרית.
⟨f,g⟩=∫₋π^π f(x)g(x)dx
מוכיחים אורתוגונליות
זהויות מכפלה־לסכום הופכות מכפלת שני תדרים לסכום של קוסינוסים שלמים. האינטגרל של כל תדר שלם לא־אפס על [−π,π] הוא אפס.
∫₋π^π cos(nx)cos(kx)dx=0 כאשר n≠k
עוצרים לחשוב: למערכת המלאה של סינוסים וקוסינוסים דרוש מחזור מלא; למשל cos x ו־sin 2x אינם מאונכים על [0,π].
מבודדים מקדם אחד
כופלים את הטור ב־cos(kx) או sin(kx) ומאינטגרלים. כל האיברים הזרים נעלמים, והנורמה של ההרמוניה היא π.
a₀=(1/2π)∫f; aₖ=(1/π)∫f cos(kx); bₖ=(1/π)∫f sin(kx)
משתמשים בסימטריה
פונקציה זוגית כפול סינוס היא אי־זוגית ולכן האינטגרל מתאפס. פונקציה אי־זוגית כפול קוסינוס מתאפסת מאותה סיבה.
f זוגית ⇒ bₖ=0; f אי־זוגית ⇒ a₀=aₖ=0
קוראים חלקות מן הזנב
אינטגרציה בחלקים מעבירה נגזרת אל f ומוסיפה גורם 1/k. קפיצה מונעת חזרה נוספת ולכן נותנת בקירוב 1/k; חלקות נוספת מאיצה את הדעיכה.
קפיצה ב־f: O(1/k); קפיצה ב־f′: O(1/k²)
מבינים את ערך הטור בקפיצה
בנקודת רציפות הטור מתכנס לערך הפונקציה. בקפיצה הוא מתכנס לממוצע הגבולות משמאל ומימין, גם אם ערך הפונקציה בנקודה הוגדר אחרת.
S∞(x₀)=[f(x₀⁻)+f(x₀⁺)]/2
מחלקים אנרגיה בין תדרים
האורתוגונליות מבטלת איברים מעורבים גם בריבוע הנורמה. לכן האנרגיה הכוללת היא סכום התרומות של כל המקדמים.
∫₋π^π|f|²dx=2πa₀²+πΣₖ≥1(aₖ²+bₖ²)

עכשיו רואים את השיטה בפעולה

דוגמאות פתורות, צעד אחר צעד

דוגמה 1

שלוש הרמוניות של גל ריבועי

מצאו את bₙ עבור f(x)=sign(sin x) ובנו את S₃.

הפונקציה אי־זוגית, ולכן נשארים רק מקדמי סינוס.
על (0,π) הערך הוא 1, ולכן bₙ=(2/π)∫₀^πsin(nx)dx.
האינטגרל נותן 2[1−(−1)ⁿ]/(πn): אפס ל־n זוגי ו־4/(πn) ל־n אי־זוגי.
מציבים n=1,3,5 ומחברים את שלושת האיברים.
ב־x=0 הגבולות הם −1 ו־1, ולכן הטור מתכנס ל־0.

התוצאה ומה היא אומרת

S₃(x)=4/π[sin x+sin(3x)/3+sin(5x)/5].

דוגמה 2

פונקציה חלקה עם שני תדרים

מצאו את טור פורייה של sin³x.

הפונקציה אי־זוגית, ולכן אין קוסינוסים או איבר קבוע.
משתמשים ב־sin x=(e^(ix)−e^(−ix))/(2i) ומעלים בחזקה שלישית.
אוספים את הזוגות e^(±ix) ואת e^(±3ix).
חוזרים לסינוסים ומקבלים רק את התדרים 1 ו־3.

התוצאה ומה היא אומרת

sin³x=(3/4)sin x−(1/4)sin 3x.

איפה זה פוגש את העולם

יישום

ניתוח צליל, דחיסת אותות, פתרון PDE וסינון רעש מתחילים בזיהוי התדרים. קצב דעיכת המקדמים גם חושף פגמים: קפיצה נסתרת בהמשך המחזור גורמת לזנב איטי אפילו אם הגרף נראה חלק בתוך הקטע.

מלכודת נפוצה

מה כדאי לבדוק

לערבב מוסכמות נרמול. יש ספרים שכותבים a₀/2 ואחרים כותבים a₀. שתי המוסכמות נכונות, אך נוסחת המקדם הקבוע וזהות Parseval חייבות להתאים לכתיבה שנבחרה.

בודקים שהרעיון יושב

תרגול ומשוב

בדיקת הבנה

בחרו תשובה ורק אז בדקו את עצמכם

לפי מוסכמת הטור בשיעור, מהו המקדם a₀ של הפונקציה הקבועה f(x)=3?

363/2

בחרו אחת מהאפשרויות כדי להמשיך.

עכשיו אתם

אתגר קצר

מצאו את טור הסינוסים של f(x)=x על [−π,π], וקבעו את ערך הטור בנקודות ±π לאחר ההמשך המחזורי.

רמז ראשון

f אי־זוגית. חשבו bₙ=(2/π)∫₀^πx sin(nx)dx באינטגרציה בחלקים ושימו לב ל־cos(nπ).

הצגת דרך הפתרון

אינטגרציה בחלקים נותנת ∫₀^πx sin(nx)dx=−πcos(nπ)/n.
לכן bₙ=2(−1)^(n+1)/n.
הטור הוא 2Σₙ≥1(−1)^(n+1)sin(nx)/n.
בהמשך המחזורי יש קפיצה מ־π ל־−π, ולכן בנקודות ±π הטור מתכנס לממוצע 0.

מימוש הנושא

קוד שאפשר לקחת לניסוי

הקוד מיישם את אותו רעיון מתמטי. ב־JavaScript אפשר להריץ אותו כאן; גרסת Python זמינה להשוואה ולהעתקה.

הקשר למתמטיקה

הקוד בונה רק את התדרים האי־זוגיים ומוסיף כל תרומה 4sin(nx)/(πn) לסכום החלקי.

פלט צפוי

ב־x=π/2 שלושת האיברים יתנו ערך קרוב ל־1, וב־x=0 הסכום יהיה 0 לכל מספר איברים.

ניסוי המשך

השוו 3, 10 ו־30 איברים בנקודה x=π−0.05. האם השגיאה יורדת באופן מונוטוני סמוך לקפיצה?

מהרעיון אל הקוד

מימוש חישובי

function squarePartial(x,terms) {
  let sum=0;
  for(let k=0;k<terms;k++) { const n=2*k+1; sum+=4*Math.sin(n*x)/(Math.PI*n); }
  return sum;
}

for(const terms of [1,3,10]) console.log(terms,squarePartial(Math.PI/2,terms));

from math import pi, sin

def square_partial(x,terms):
    return sum(4*sin((2*k+1)*x)/(pi*(2*k+1)) for k in range(terms))

for terms in [1,3,10]:
    print(terms,square_partial(pi/2,terms))

לפני שממשיכים

מה לוקחים מהשיעור

מקדמי פורייה הם היטל של פונקציה על בסיס אורתוגונלי.
סימטריה חוסכת חצי מן החישוב ולעיתים יותר.
דעיכה איטית של מקדמים מעידה על קפיצות או חוסר חלקות.
Parseval מתרגם אנרגיה מאינטגרל לסכום על תדרים.

משימת מעבדה לשיעור הזה

תחנה 1 — לבנות צורה מתדרים

בחרו גל ריבועי, משולש או שן מסור, הוסיפו איברים והשוו את קצב דעיכת המקדמים ואת השגיאה ליד הקפיצה.

לפתיחת התחנה

מקורות להעמקה בלבד — השיעור עומד בפני עצמו

מדריך המרצים: עמ׳ 216–223

ספר הלימוד: עמ׳ 434–445