התמרות פורייה ולפלס
משוואת הגל ואופני תנודה
The Wave Equation
אותם מצבים מרחביים של המיתר אינם דועכים אלא מתנודדים בתדר cn. תנאי ההתחלה קובעים את המשרעת והפאזה של כל אופן, והאנרגיה הכוללת נשמרת.
- 1נקודת פתיחהמה כבר ידוע ומה השאלה?
- 2ניבוימה יקרה במקרה הפשוט?
- 3המחשהמה באמת משתנה בתמונה?
- 4ניסוח והצדקהשם, נוסחה ולמה היא נכונה
- 5בדיקהדוגמה, תרגול ומשוב
- 6העברהמקרה חדש והמשך המסלול
שאלה לפני נוסחה
מה אנחנו מנסים לראות?
לפתור את משוואת הגל על מיתר עם קצוות קבועים, לקבוע משרעת ופאזה מכל שני תנאי ההתחלה, ולהסביר אופנים, מהירות, תהודה ושימור אנרגיה.
מיתר אינו מוחק את צורתו כמו חום. המתיחה מאיצה כל נקודה חזרה לשיווי משקל, האינרציה מעבירה אותה לצד השני, וכך אנרגיה מתחלפת בין תנועה למתיחה. כל צורת סינוס מבצעת את המחזור הזה בקצב משלה.
לפני ההמחשה: קראו רק את הכותרת “צורה מתנודדת ומצבים שמחליפים סימן”. מה לדעתכם ישתנה, מה יישאר קבוע, ואיזה סימן בתמונה יוכל להפריך את הניבוי?
לראות לפני שמחשבים · המקרה הפשוט ביותר
צורה מתנודדת ומצבים שמחליפים סימן
האיור מציג את צורת המיתר בזמן נבחר ואת משרעות המצבים המרכיבים אותה.
מה כדאי לגלות: העבירו את הזמן קדימה: העמודות עשויות להחליף סימן, אך אינן מתכווצות בהתמדה כמו במשוואת החום.
אחרי שראינו
בסוף השיעור תוכלו
- לגזור את משוואת הזמן qₙ″+(cn)²qₙ=0 לכל מצב סינוס.
- לבנות פתרון מהעתקה ומהירות התחלתיות באמצעות שני סטים של מקדמי פורייה.
- להבדיל בין גל שומר אנרגיה לבין חום דועך ולפרש superposition של אופני תנודה.
נותנים שמות למה שראינו
מושגים שנשתמש בהם
- מהירות גל c
- הקבוע המקשר בין תדר הזמן למספר הגל: ωₙ=cn בתחום [0,π].
- אופן נורמלי
- צורה מרחבית sin(nx) ששומרת על צורתה ורק משרעתה מתנודדת.
- העתקה התחלתית
- הפונקציה f(x)=u(x,0), הקובעת את מקדמי הקוסינוס בזמן.
- מהירות התחלתית
- הפונקציה g(x)=uₜ(x,0), הקובעת את מקדמי הסינוס בזמן.
- צומת
- נקודה שבה אופן מסוים נשאר אפס בכל זמן, למשל אפסי sin(nx).
- אנרגיית גל
- הסכום ½∫[uₜ²+c²uₓ²]dx, הנשמר במודל ללא ריסון.
מהמילים אל הסימנים
כותבים את הפעולה שכבר ראינו
פתחו את הנוסחה רק אחרי שאתם יכולים לומר במילים מה כל פעולה אמורה לעשות. בשלב הבא נצדיק אותה צעד אחר צעד.
להצגת נוסחת המפתח
קראו כל סימן כפעולה, לא כמשהו שצריך לשנןuₜₜ=c²uₓₓ; qₙ″+(cn)²qₙ=0מרכיבים את הפעולות
מהתמונה אל הנוסחה — הגזירה, בלי לדלג על הצעדים
מנסחים מיתר קבוע בקצותיו
התאוצה בזמן פרופורציונית לעקמומיות במרחב. שני תנאי התחלה נדרשים מפני שהנגזרת בזמן היא מסדר שני.
uₜₜ=c²uₓₓ; u(0,t)=u(π,t)=0; u(x,0)=f; uₜ(x,0)=gמפרידים משתנים
מציבים u=Xq. חלוקה ב־c²Xq מפרידה בין x לבין t ומחזירה אותה בעיית ערכים עצמיים במרחב.
X″/X=q″/(c²q)=−λמזהים את אופני המיתר
קצוות אפס דורשים λ=n² ו־Xₙ=sin(nx). לכל n יש n−1 צמתים פנימיים ותדירות זמן ωₙ=cn.
Xₙ=sin(nx); ωₙ=cnפותרים את הזמן
משוואת הזמן היא מתנד הרמוני. אין גורם דעיכה, ולכן שני קבועים קובעים משרעת ופאזה.
qₙ(t)=Aₙcos(cnt)+Bₙsin(cnt)מתאימים שני תנאי התחלה
Aₙ הם מקדמי הסינוס של f. נגזרת בזמן ב־t=0 נותנת cnBₙ, ולכן Bₙ הוא מקדם g חלקי cn.
Aₙ=(2/π)∫₀^πf sin(nx); Bₙ=(2/(πcn))∫₀^πg sin(nx)מרכיבים את הפתרון
לינאריות מאפשרת לחבר את כל האופנים. הם אינם מעבירים אנרגיה זה לזה במודל האידיאלי.
u=Σₙ≥1[Aₙcos(cnt)+Bₙsin(cnt)]sin(nx)מוכיחים שימור אנרגיה
גוזרים את האנרגיה, מציבים uₜₜ=c²uₓₓ ומאינטגרלים בחלקים. התרומות מתבטלות ותנאי הקצה מאפסים את השפה.
E=½∫(uₜ²+c²uₓ²)dx; dE/dt=0
עכשיו רואים את השיטה בפעולה
דוגמאות פתורות, צעד אחר צעד
שני אופנים ממהירות התחלתית אפס
פתרו עבור f(x)=sin x+(1/2)sin 2x, g(x)=0 ומהירות c=1.
מן ההעתקה מתקבלים A₁=1 ו־A₂=1/2.
המהירות התחלתית אפס, ולכן B₁=B₂=0.
תדירויות הזמן הן ω₁=1 ו־ω₂=2.
מחברים cos(t)sin x עם (1/2)cos(2t)sin 2x.
ב־t=2π שני הקוסינוסים חוזרים ל־1 והמיתר חוזר בדיוק לצורת ההתחלה.
u(x,t)=cos t·sin x+(1/2)cos 2t·sin 2x.
מיתר שמתחיל ישר אך מקבל בעיטה
פתרו עבור f=0, g(x)=3sin 2x ומהירות c=2.
כל Aₙ שווים אפס מפני שההעתקה ההתחלתית אפס.
במהירות יש רק מצב n=2 עם מקדם 3.
התדירות היא cn=4, ולכן 4B₂=3 ומתקבל B₂=3/4.
נגזרת הפתרון בזמן ב־t=0 היא 3sin 2x, כנדרש.
u(x,t)=(3/4)sin(4t)sin(2x).
איפה זה פוגש את העולם
יישום
אופנים נורמליים מתארים מיתרים, ממברנות, מבנים וכלי נגינה. תהודה נוצרת כאשר כוח חיצוני פועל בתדירות של אחד האופנים; אז המודל הלא־מרוסן מנבא גידול במקום תנודה חסומה.
מלכודת נפוצה
מה כדאי לבדוק
להעתיק ממשוואת החום את e^(−κn²t). במשוואת הגל הנגזרת בזמן היא שנייה, ולכן מתקבלים sin ו־cos. בלי ריסון אין דעיכה מונוטונית של המשרעות.
בודקים שהרעיון יושב
תרגול ומשוב
בדיקת הבנה
בחרו תשובה ורק אז בדקו את עצמכם
בחרו אחת מהאפשרויות כדי להמשיך.
עכשיו אתם
אתגר קצר
הוכיחו שכל פתרון עם מספר סופי של אופנים ומהירות התחלתית אפס חוזר לצורתו לאחר זמן 2π/c.
רמז ראשון
בדקו את גורם הזמן cos(cn·2π/c) לכל n שלם.
הצגת דרך הפתרון
- בזמן T=2π/c מתקיים cnT=2πn.
- לכן cos(cnT)=1 ו־sin(cnT)=0 לכל n שלם.
- כל מקדם מצב חוזר לערכו בזמן 0 וכל מהירות מצב חוזרת לאפס.
- מכאן u(x,T)=u(x,0) עבור כל x.
מימוש הנושא
קוד שאפשר לקחת לניסוי
הקוד מיישם את אותו רעיון מתמטי. ב־JavaScript אפשר להריץ אותו כאן; גרסת Python זמינה להשוואה ולהעתקה.
הקוד מחשב לכל n את Aₙcos(cnt)+Bₙsin(cnt), מכפיל ב־sin(nx) ומחבר את המצבים.
לשני המצבים בדוגמה, הצורה בזמן 2π תהיה זהה לצורה בזמן 0 עד לשגיאת עיגול.
הוסיפו ריסון מלאכותי e^(−0.1t) והשוו למשוואת החום: האם כל התדרים דועכים כעת באותו קצב?
מהרעיון אל הקוד
מימוש חישובי
function waveState(displacement,velocity,c,t,x) {
return displacement.reduce((sum,A,index)=>{
const n=index+1,omega=c*n,B=velocity[index]/omega;
return sum+(A*Math.cos(omega*t)+B*Math.sin(omega*t))*Math.sin(n*x);
},0);
}
const A=[1,0.5],V=[0,0];
for(const t of [0,Math.PI,2*Math.PI]) console.log(t,waveState(A,V,1,t,Math.PI/3));from math import cos, pi, sin
def wave_state(displacement,velocity,c,t,x):
total=0.0
for index,A in enumerate(displacement):
n=index+1
omega=c*n
B=velocity[index]/omega
total+=(A*cos(omega*t)+B*sin(omega*t))*sin(n*x)
return total
A=[1,0.5]
V=[0,0]
for t in [0,pi,2*pi]:
print(t,wave_state(A,V,1,t,pi/3))לפני שממשיכים
מה לוקחים מהשיעור
- מצבי המרחב של חום ושל גל זהים; משוואת הזמן היא שמבדילה ביניהם.
- לכל אופן גל יש תדירות ωₙ=cn ושני נתוני התחלה.
- ללא ריסון, האנרגיה עוברת בין תנועה למתיחה אך סכומה נשמר.
- סופרפוזיציה של אופנים יוצרת תנועה מורכבת בלי ערבוב בין התדרים.
משימת מעבדה לשיעור הזה
תחנה 3 — להפוך דעיכה לתנודה
עברו ממצב חום למצב גל עם אותה צורה התחלתית, הזיזו את הזמן ועקבו אחר המשרעות והאנרגיה.
מקורות להעמקה בלבד — השיעור עומד בפני עצמו
הסעיף מופיע בספר המלא אך אינו כלול במדריך שסופק.
ספר הלימוד: עמ׳ 463–469