התמרות פורייה ולפלס

התמרת לפלס, קטבים ותנאי התחלה

The Laplace Transform

לפלס אורז תנאי התחלה בתוך התמרת הנגזרות והופך משוואה בזמן למשוואה אלגברית ב־s. קטבי פונקציית התמסורת חושפים את מצבי המערכת.

יחידת לימוד עצמאיתשיעור 5 מתוך 6כ־75 דקות כולל תרגול3 מטרות למידה

1
נקודת פתיחהמה כבר ידוע ומה השאלה?
2
ניבוימה יקרה במקרה הפשוט?
3
המחשהמה באמת משתנה בתמונה?
4
ניסוח והצדקהשם, נוסחה ולמה היא נכונה
5
בדיקהדוגמה, תרגול ומשוב
6
העברהמקרה חדש והמשך המסלול

שאלה לפני נוסחה

מה אנחנו מנסים לראות?

להפוך בעיית התחלה לינארית למשוואה אלגברית ב־s, לבצע התמרה הפוכה באמצעות טבלה ושברים חלקיים, ולפרש השהיות, קטבים ופונקציית תמסורת.

נגזרת היא פעולה מקומית בזמן אך קשה לעיתים לעקוב אחריה תחת קלטים עם קפיצות והלמים. לפלס מחליף אותה בכפל ב־s ומוסיף קבלה עבור מה שקרה ב־t=0. המשוואה הופכת לשבר; המכנה מתאר את המערכת והמונים את הקלט ואת המצב ההתחלתי.

לפני ההמחשה: קראו רק את הכותרת “מקוטב ב־s אל תגובה בזמן”. מה לדעתכם ישתנה, מה יישאר קבוע, ואיזה סימן בתמונה יוכל להפריך את הניבוי?

לראות לפני שמחשבים · המקרה הפשוט ביותר

מקוטב ב־s אל תגובה בזמן

עקבו מהצורה הראשונית אל התוצאה

האיור מציג קלט, תגובת הלם ופלט של y′+ay=f; מיקום הקוטב −a קובע את קצב דעיכת הזיכרון.

מה כדאי לגלות: הגדילו את a: הקוטב נע שמאלה, תגובת ההלם מתקצרת והמערכת מגיעה מהר יותר למצב הקבוע 1/a.

אחרי שראינו

בסוף השיעור תוכלו

לגזור את כללי התמרת הנגזרת ולשמור במפורש את תנאי ההתחלה.
לפתור משוואות מסדר ראשון ושני באמצעות אלגברה ושברים חלקיים.
לזהות קטבים, תגובת הלם והשהיה e^(−as) ולתרגם אותם חזרה להתנהגות בזמן.

נותנים שמות למה שראינו

מושגים שנשתמש בהם

התמרת לפלס: האינטגרל F(s)=∫₀∞e^(−st)f(t)dt, כאשר הוא מתכנס.
תחום התכנסות: ערכי s שעבורם האינטגרל סופי; בדרך כלל חצי־מישור Re(s)>σ₀.
קוטב: ערך s שבו פונקציית ההתמרה מתבדרת; הוא מתאים למצב מעריכי של המערכת.
פונקציית תמסורת G(s): היחס Y(s)/F(s) במערכת לינארית שמתחילה ממנוחה.
מדרגה מושהית: H(t−a), המתאפסת לפני a והתמרתה e^(−as)/s.
שברים חלקיים: פירוק שבר רציונלי לסכום איברים פשוטים שקל להפוך בזמן.

מהמילים אל הסימנים

כותבים את הפעולה שכבר ראינו

פתחו את הנוסחה רק אחרי שאתם יכולים לומר במילים מה כל פעולה אמורה לעשות. בשלב הבא נצדיק אותה צעד אחר צעד.

להצגת נוסחת המפתח

קראו כל סימן כפעולה, לא כמשהו שצריך לשנןY(s)=∫₀∞e^(−st)y(t)dt; L{y′}=sY−y(0)

מרכיבים את הפעולות

מהתמונה אל הנוסחה — הגזירה, בלי לדלג על הצעדים

מגדירים התמרה חד־צדדית
האינטגרל מתחיל ב־0 ולכן מתאים לבעיות התחלה סיבתיות. הגורם e^(−st) מדכא גידול כאשר Re(s) גדול מספיק.
F(s)=L{f}(s)=∫₀∞e^(−st)f(t)dt
גוזרים את כלל הנגזרת
אינטגרציה בחלקים מעבירה את הנגזרת אל e^(−st). איבר השפה באינסוף נעלם בתחום ההתכנסות, וב־0 נשאר f(0).
L{f′}=sF(s)−f(0)
חוזרים לנגזרת שנייה
מפעילים את הכלל שוב על f′. כך שני תנאי ההתחלה מופיעים בדיוק מפני שהמשוואה מסדר שני.
L{f″}=s²F−sf(0)−f′(0)
בונים טבלת יסוד
אינטגרלים גאומטריים נותנים את הזוגות של מדרגה, מעריכי, סינוס וקוסינוס. לינאריות מאפשרת לחבר ולהכפיל בקבועים.
1↔1/s; e^(at)↔1/(s−a); sin(ωt)↔ω/(s²+ω²)
פותרים אלגברית
מתמירים כל איבר, אוספים את Y(s) ומבודדים אותו. המכנה האופרטורי הופך לפולינום ב־s.
ay″+by′+cy=f ⇒ (as²+bs+c)Y=F+initial terms
קוראים את הקטבים
פירוק המכנה חושף איברים 1/(s−λ). ההתמרה ההפוכה שלהם היא e^(λt), ולכן חלק ממשי שלילי יוצר דעיכה וחיובי יוצר גידול.
pole s=λ ⇔ mode e^(λt)
מטפלים בהשהיה
הכפלת F(s) ב־e^(−as) אינה משנה את צורת האות; היא מזיזה אותו לזמן a ומוסיפה מדרגה שמונעת תגובה מוקדמת.
e^(−as)F(s) ↔ H(t−a)f(t−a)

עכשיו רואים את השיטה בפעולה

דוגמאות פתורות, צעד אחר צעד

דוגמה 1

תגובה למדרגה במערכת מסדר ראשון

פתרו y′+2y=1 עם y(0)=0.

מתמירים: sY−0+2Y=1/s.
מבודדים Y=1/[s(s+2)].
מפרקים Y=(1/2)(1/s−1/(s+2)).
הופכים כל איבר בעזרת הטבלה.
בדיקה: y(0)=0 ו־y′+2y=e^(−2t)+1−e^(−2t)=1.

התוצאה ומה היא אומרת

y(t)=(1−e^(−2t))/2.

דוגמה 2

תגובת הלם של מערכת מסדר שני

פתרו y″+3y′+2y=δ(t) ממנוחה.

ממנוחה פירושו y(0⁻)=y′(0⁻)=0; התמרת δ היא 1.
מתקבל (s²+3s+2)Y=1.
מפרקים Y=1/[(s+1)(s+2)]=1/(s+1)−1/(s+2).
הופכים ומקבלים הפרש של שני מעריכיים דועכים.
האינטגרל סביב t=0 נותן קפיצה 1 במהירות, בדיוק השפעת ההלם.

התוצאה ומה היא אומרת

g(t)=H(t)[e^(−t)−e^(−2t)].

איפה זה פוגש את העולם

יישום

בקרה, מעגלים, מכניקה ועיבוד אותות משתמשים בפונקציות תמסורת. במקום לפתור מחדש לכל קלט, מזהים פעם אחת את הקטבים והרווח ולאחר מכן מכפילים בהתמרת הקלט.

מלכודת נפוצה

מה כדאי לבדוק

להשתמש בערכי y(0⁺) אחרי הלם כאילו היו תנאי ההתחלה לפני ההלם. בהתמרה חד־צדדית חייבים להצהיר אם תנאי ההתחלה ניתנים ב־0⁻ או ב־0⁺ כדי לא לספור את ההלם פעמיים.

בודקים שהרעיון יושב

תרגול ומשוב

בדיקת הבנה

בחרו תשובה ורק אז בדקו את עצמכם

מהי התמרת לפלס של y″ כאשר y(0)=2 ו־y′(0)=−1?

s²Y−2s+1s²YsY−2

בחרו אחת מהאפשרויות כדי להמשיך.

עכשיו אתם

אתגר קצר

פתרו y″+4y=1 עם y(0)=y′(0)=0 באמצעות לפלס ואמתו את התוצאה במשוואה.

רמז ראשון

תקבלו Y=1/[s(s²+4)]. פרקו A/s+(Bs+C)/(s²+4).

הצגת דרך הפתרון

השוואת מקדמים נותנת Y=(1/4)(1/s−s/(s²+4)).
ההתמרה ההפוכה היא y=(1/4)(1−cos 2t).
y(0)=0 ו־y′(0)=0.
y″=cos 2t ולכן y″+4y=cos 2t+1−cos 2t=1.

מימוש הנושא

קוד שאפשר לקחת לניסוי

הקוד מיישם את אותו רעיון מתמטי. ב־JavaScript אפשר להריץ אותו כאן; גרסת Python זמינה להשוואה ולהעתקה.

הקשר למתמטיקה

הקוד מחשב ישירות את תגובת המערכת y′+ay=f לכמה קלטים שההתמרות שלהם ידועות.

פלט צפוי

למדרגה עם a=2 הפלט יתקרב ל־1/2, ולהלם הפלט יתחיל ב־1 וידעך כ־e^(−2t).

ניסוי המשך

הזיזו מדרגה בשנייה ובדקו שהפלט אפס לפני t=1 ואחר כך זהה לתגובה המקורית עם t מוחלף ב־t−1.

מהרעיון אל הקוד

מימוש חישובי

function firstOrderResponse(kind,a,t,delay=1) {
  const step=(time)=>time<0?0:(1-Math.exp(-a*time))/a;
  if(kind==="impulse") return t<0?0:Math.exp(-a*t);
  if(kind==="step") return step(t);
  if(kind==="delayed") return step(t-delay);
  throw new Error("unknown input");
}

for(const t of [0,0.5,2,6]) console.log(t,firstOrderResponse("step",2,t));

from math import exp

def first_order_response(kind,a,t,delay=1):
    step=lambda time: 0 if time<0 else (1-exp(-a*time))/a
    if kind=="impulse":
        return 0 if t<0 else exp(-a*t)
    if kind=="step":
        return step(t)
    if kind=="delayed":
        return step(t-delay)
    raise ValueError("unknown input")

for t in [0,0.5,2,6]:
    print(t,first_order_response("step",2,t))

לפני שממשיכים

מה לוקחים מהשיעור

לפלס הופך נגזרות לכפל ב־s אך משאיר קבלות של תנאי ההתחלה.
קטבי Y או G הם מצבי המערכת במרחב הזמן.
שברים חלקיים הם הגשר מאלגברה ב־s בחזרה למעריכיים וסינוסים בזמן.
הכפלה ב־e^(−as) מייצגת השהיה סיבתית של a יחידות זמן.

משימת מעבדה לשיעור הזה

תחנה 4 — מקוטב לתגובה בזמן

שנו את הקוטב −a ואת סוג הקלט, ועקבו אחר תגובת ההלם, קבוע הזמן, הרווח והשהיה.

לפתיחת התחנה

מקורות להעמקה בלבד — השיעור עומד בפני עצמו

מדריך המרצים: עמ׳ 225–234

ספר הלימוד: עמ׳ 470–478