התמרות פורייה ולפלס

משוואת החום והחלקה ספקטרלית

The Heat Equation

פירוק לסינוסים הופך את משוואת החום למשוואה נפרדת לכל תדר. מצב n דועך כמו e^(−κn²t), ולכן תנודות מהירות נעלמות ראשונות.

יחידת לימוד עצמאיתשיעור 3 מתוך 6כ־70 דקות כולל תרגול3 מטרות למידה

1
נקודת פתיחהמה כבר ידוע ומה השאלה?
2
ניבוימה יקרה במקרה הפשוט?
3
המחשהמה באמת משתנה בתמונה?
4
ניסוח והצדקהשם, נוסחה ולמה היא נכונה
5
בדיקהדוגמה, תרגול ומשוב
6
העברהמקרה חדש והמשך המסלול

שאלה לפני נוסחה

מה אנחנו מנסים לראות?

לפתור את משוואת החום עם תנאי שפה קבועים באמצעות הפרדת משתנים, ולפרש דעיכת מצבים, החלקה, אנרגיה ומצב יציב במרחב התדר.

שינוי טמפרטורה מהיר במרחב יוצר עקמומיות גדולה ולכן זרימת חום חזקה. שינוי רחב ואיטי יוצר עקמומיות קטנה. פורייה מפריד את הצורה לגלים, ומשוואת החום מנמיכה כל גל לפי ריבוע התדר שלו.

לפני ההמחשה: קראו רק את הכותרת “אותה צורה נעשית חלקה”. מה לדעתכם ישתנה, מה יישאר קבוע, ואיזה סימן בתמונה יוכל להפריך את הניבוי?

לראות לפני שמחשבים · המקרה הפשוט ביותר

אותה צורה נעשית חלקה

עקבו מהצורה הראשונית אל התוצאה

האיור מציג עקומת טמפרטורה ומשרעות של כמה מצבי סינוס לאחר זמן נתון.

מה כדאי לגלות: השוו את העמודות של n=1 ושל n=3: גם כשהשלישית התחילה קטנה רק מעט, גורם n² מוחק אותה הרבה יותר מהר.

אחרי שראינו

בסוף השיעור תוכלו

לגזור את מצבי הסינוס ואת גורם הזמן e^(−κn²t) עבור קצוות אפס.
לבנות פתרון מתנאי התחלה באמצעות מקדמי פורייה ולהסביר מדוע תדרים גבוהים נעלמים ראשונים.
לטפל בתנאי שפה לא־אפסיים באמצעות חיסור מצב יציב ולבדוק דעיכת אנרגיה.

נותנים שמות למה שראינו

מושגים שנשתמש בהם

דיפוזיה κ: קבוע חיובי הקובע את קצב התפשטות החום ואת דעיכת כל מצב.
תנאי דיריכלה: ערכי הטמפרטורה בקצות התחום, למשל u(0,t)=u(π,t)=0.
הפרדת משתנים: חיפוש פתרון מכפלה u(x,t)=X(x)T(t) כדי להפריד מרחב וזמן.
מצב חום n: הצורה sin(nx), המתפתחת בלי להתערבב עם מצבים אחרים.
זמן מחצית ספקטרלי: הזמן ln2/(κn²) הדרוש למצב n לאבד מחצית ממשרעתו.
מצב יציב: פתרון שאינו משתנה בזמן ומקיים uₓₓ=0 יחד עם תנאי השפה.

מהמילים אל הסימנים

כותבים את הפעולה שכבר ראינו

פתחו את הנוסחה רק אחרי שאתם יכולים לומר במילים מה כל פעולה אמורה לעשות. בשלב הבא נצדיק אותה צעד אחר צעד.

להצגת נוסחת המפתח

קראו כל סימן כפעולה, לא כמשהו שצריך לשנןuₜ=κuₓₓ; aₙ(t)=aₙ(0)e^(−κn²t)

מרכיבים את הפעולות

מהתמונה אל הנוסחה — הגזירה, בלי לדלג על הצעדים

מנסחים את הבעיה
הטמפרטורה משתנה בזמן לפי העקמומיות במרחב. קצוות אפס בוחרים מצבים שנעלמים ב־x=0 וב־x=π.
uₜ=κuₓₓ; u(0,t)=u(π,t)=0; u(x,0)=f(x)
מפרידים מרחב וזמן
מציבים u=XT ומחלקים ב־κXT. צד אחד תלוי רק ב־t והאחר רק ב־x, ולכן שניהם שווים לקבוע −λ.
T′/(κT)=X″/X=−λ
פותרים את בעיית המרחב
התנאים X(0)=X(π)=0 מאפשרים פתרון לא־אפס רק כאשר λ=n². הפונקציות העצמיות הן sin(nx).
Xₙ(x)=sin(nx), λₙ=n²
פותרים את משוואת הזמן
לכל n מתקבלת משוואה מסדר ראשון עם דעיכה מעריכית. אין ערבוב בין המצבים.
Tₙ′=−κn²Tₙ ⇒ Tₙ(t)=e^(−κn²t)
מתאימים את תנאי ההתחלה
מפתחים את f בטור סינוסים. כל מקדם bₙ מקבל את גורם הזמן שלו, וכך מתקבל הפתרון המלא.
u(x,t)=Σₙ≥1 bₙe^(−κn²t)sin(nx)
מוכיחים החלקה
עבור t>0 הגורם e^(−κn²t) דועך מהר יותר מכל חזקה של n. לכן גם אם f התחילה עם קפיצה, הפתרון נעשה חלק מיד בתוך התחום.
|bₙ(t)|=|bₙ(0)|e^(−κn²t)
עוקבים אחרי אנרגיה
כופלים את המשוואה ב־u ומאינטגרלים בחלקים. תנאי השפה מבטלים את איבר הקצה ומשאירים ירידה שאינה חיובית.
d/dt ∫u²dx=−2κ∫uₓ²dx≤0

עכשיו רואים את השיטה בפעולה

דוגמאות פתורות, צעד אחר צעד

דוגמה 1

שני מצבים דועכים בקצבים שונים

פתרו עבור κ=1 ו־f(x)=sin x+(1/2)sin 3x.

תנאי ההתחלה כבר כתוב בבסיס המצבים: b₁=1 ו־b₃=1/2.
מצב 1 מקבל גורם e^(−t).
מצב 3 מקבל גורם e^(−9t), בגלל n²=9.
מחברים את שני המצבים בלי לפתור מערכת נוספת.
ב־t=0.2 המקדמים הם בערך 0.819 ו־0.0826: הפרט המהיר כמעט נעלם.

התוצאה ומה היא אומרת

u(x,t)=e^(−t)sin x+(1/2)e^(−9t)sin 3x.

דוגמה 2

קצוות בטמפרטורות שונות

פתרו עקרונית uₜ=κuₓₓ עם u(0,t)=0, u(π,t)=10.

המצב היציב הוא הקו s(x)=10x/π, כי s″=0 והוא מתאים לקצוות.
מגדירים v=u−s; כעת v(0,t)=v(π,t)=0.
תנאי ההתחלה החדש הוא v(x,0)=f(x)−10x/π.
מפתחים אותו בטור סינוסים ומכפילים כל מקדם ב־e^(−κn²t).

התוצאה ומה היא אומרת

u(x,t)=10x/π+Σbₙe^(−κn²t)sin(nx), ולכן u→10x/π.

איפה זה פוגש את העולם

יישום

אותה מתמטיקה מתארת דיפוזיה של חומר, החלקת תמונה ותהליך random walk. כפל מקדמי פורייה במסנן e^(−κn²t) הוא מסנן low-pass טבעי שמסיר רעש בתדר גבוה.

מלכודת נפוצה

מה כדאי לבדוק

לכתוב e^(−κnt) במקום e^(−κn²t). הנגזרת השנייה של sin(nx) היא −n²sin(nx), ולכן ריבוע התדר הוא כל מנגנון ההחלקה.

בודקים שהרעיון יושב

תרגול ומשוב

בדיקת הבנה

בחרו תשובה ורק אז בדקו את עצמכם

אם מצב n=1 איבד מחצית ממשרעתו, איזה חלק נשאר ממצב n=3 באותו זמן?

1/5121/61/2

בחרו אחת מהאפשרויות כדי להמשיך.

עכשיו אתם

אתגר קצר

עבור f(x)=sin x+sin 4x ו־κ=0.5, מצאו את הזמן שבו משרעת מצב 4 קטנה פי 100 ממשרעת מצב 1.

רמז ראשון

חשבּו את היחס exp[−κ(4²−1²)t] והשוו אותו ל־1/100.

הצגת דרך הפתרון

יחס המשרעות הוא e^(−0.5·15t)=e^(−7.5t).
דורשים e^(−7.5t)=0.01.
לכן t=ln(100)/7.5≈0.614.
בזמן זה מצב 1 עדיין נשאר, אך הפרט n=4 כמעט נעלם.

מימוש הנושא

קוד שאפשר לקחת לניסוי

הקוד מיישם את אותו רעיון מתמטי. ב־JavaScript אפשר להריץ אותו כאן; גרסת Python זמינה להשוואה ולהעתקה.

הקשר למתמטיקה

הקוד מייצג את תנאי ההתחלה כרשימת מקדמים ומכפיל את מקדם n ב־e^(−κn²t).

פלט צפוי

ב־t=0.2 המקדם של n=3 יהיה קטן בערך פי 10 מן המקדם של n=1, אף שהתחיל כחצי ממנו.

ניסוי המשך

שנו את κ מ־1 ל־0.25. בכמה צריך להגדיל את הזמן כדי לקבל בדיוק אותה צורה?

מהרעיון אל הקוד

מימוש חישובי

function heatState(coefficients,kappa,t,x) {
  return coefficients.reduce((sum,a,index)=>{
    const n=index+1;
    return sum+a*Math.exp(-kappa*n*n*t)*Math.sin(n*x);
  },0);
}

const coefficients=[1,0,0.5];
for(const t of [0,0.2,1]) console.log(t,heatState(coefficients,1,t,Math.PI/3));

from math import exp, pi, sin

def heat_state(coefficients,kappa,t,x):
    return sum(a*exp(-kappa*(index+1)**2*t)*sin((index+1)*x)
               for index,a in enumerate(coefficients))

coefficients=[1,0,0.5]
for t in [0,0.2,1]:
    print(t,heat_state(coefficients,1,t,pi/3))

לפני שממשיכים

מה לוקחים מהשיעור

סינוסים הם המצבים העצמיים של הנגזרת השנייה עם קצוות אפס.
כל מצב חום דועך באופן עצמאי בקצב κn².
דעיכה מהירה של תדרים גבוהים מסבירה את ההחלקה המיידית.
תנאי שפה לא־אפסיים מטופלים על ידי חיסור מצב יציב.

משימת מעבדה לשיעור הזה

תחנה 3 — לראות החלקה מצב־מצב

בחרו משוואת חום וצורה התחלתית חדה, הגדילו זמן והשוו את משרעות המצבים הנמוכים והגבוהים.

לפתיחת התחנה

מקורות להעמקה בלבד — השיעור עומד בפני עצמו

הסעיף מופיע בספר המלא אך אינו כלול במדריך שסופק.

ספר הלימוד: עמ׳ 455–462