ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
מטריצות סימטריות ואופני תנודה
Second Order Systems and Symmetric Matrices
משפט הספקטרום מבטיח בסיס עצמי אורתונורמלי למטריצה סימטרית. כך מערכת מצומדת Mq″+Kq=0 מתפרקת לתנודות עצמאיות בתדרים √λ.
- 1נקודת פתיחהמה כבר ידוע ומה השאלה?
- 2ניבוימה יקרה במקרה הפשוט?
- 3המחשהמה באמת משתנה בתמונה?
- 4ניסוח והצדקהשם, נוסחה ולמה היא נכונה
- 5בדיקהדוגמה, תרגול ומשוב
- 6העברהמקרה חדש והמשך המסלול
שאלה לפני נוסחה
מה אנחנו מנסים לראות?
להשתמש במשפט הספקטרום כדי לפרק מערכת תנודות מצומדת לאופנים נורמליים, לחשב תדרים ומקדמים, ולפרש אורתוגונליות ושימור אנרגיה.
שתי מסות מחוברות נראות כמערכת שבה כל תנועה משפיעה על השנייה. אבל יש תבניות מיוחדות — שתיהן יחד או זו מול זו — שבהן צורת התנועה נשמרת. אלה האופנים הנורמליים; כל אחד מתנהג כאוסצילטור סקלרי בתדר משלו.
לפני ההמחשה: קראו רק את הכותרת “שני אופנים שמפרידים מערכת מצומדת”. מה לדעתכם ישתנה, מה יישאר קבוע, ואיזה סימן בתמונה יוכל להפריך את הניבוי?
לראות לפני שמחשבים · המקרה הפשוט ביותר
שני אופנים שמפרידים מערכת מצומדת
האיור משווה אופן בתנועה משותפת לאופן בתנועה מנוגדת עבור K=[[5,−4],[−4,5]].
מה כדאי לגלות: האופן המשותף מותח פחות את הקפיץ המחבר ולכן תדירותו 1; האופן המנוגד מותח אותו יותר ולכן תדירותו 3.
אחרי שראינו
בסוף השיעור תוכלו
- להסביר מדוע מטריצה סימטרית ממשית מחזיקה ערכים ממשיים ובסיס עצמי אורתונורמלי.
- להפוך q″+Kq=0 למשוואות סקלריות עצמאיות באמצעות QᵀKQ=Λ.
- לחשב אופני תנודה, תדרים ופתרון מתנאי מקום ומהירות התחלתיים.
נותנים שמות למה שראינו
מושגים שנשתמש בהם
- משפט הספקטרום
- כל מטריצה סימטרית ממשית ניתנת ללכסון אורתוגונלי A=QΛQᵀ.
- אורתונורמלי
- וקטורים מאונכים זה לזה ובעלי אורך 1; עמודות Q מקיימות QᵀQ=I.
- אופן נורמלי
- תבנית תנודה לאורך וקטור עצמי שבה כל הרכיבים נעים באותו תדר.
- תדר טבעי
- ω=√λ עבור משוואת האופן z″+λz=0 כאשר λ≥0.
- מטריצת קשיחות K
- מטריצה סימטרית המקשרת הסטות לכוחות מחזירים במערכת קפיצים.
- בעיה עצמית מוכללת
- Kv=λMv כאשר מטריצת המסה M אינה I.
מהמילים אל הסימנים
כותבים את הפעולה שכבר ראינו
פתחו את הנוסחה רק אחרי שאתם יכולים לומר במילים מה כל פעולה אמורה לעשות. בשלב הבא נצדיק אותה צעד אחר צעד.
להצגת נוסחת המפתח
קראו כל סימן כפעולה, לא כמשהו שצריך לשנןK vᵢ=λᵢM vᵢ; qᵢ″+λᵢqᵢ=0מרכיבים את הפעולות
מהתמונה אל הנוסחה — הגזירה, בלי לדלג על הצעדים
כותבים את חוק ניוטון כמטריצה
במסות יחידה, כוח הקפיצים הוא −Kq. לכן התאוצה שווה לכוח, וכל הצימוד נמצא בתוך K.
q″+Kq=0משתמשים בבסיס אורתונורמלי
ל־K סימטרית יש K=QΛQᵀ. מציבים q=Qz, גוזרים פעמיים וכופלים ב־Qᵀ. האורתוגונליות מבטלת את QᵀQ.
q=Qz ⇒ z″+Λz=0פותרים כל אופן בנפרד
המשוואה ה־i היא אוסצילטור סקלרי. אם λᵢ>0, תדירותו √λᵢ; אם λᵢ=0 מתקבלת תנועה קשיחה ללא כוח מחזיר.
zᵢ(t)=Aᵢcos(ωᵢt)+Bᵢsin(ωᵢt), ωᵢ=√λᵢמקרינים את תנאי ההתחלה
בגלל Q⁻¹=Qᵀ, מקדמי המקום הם A=Qᵀq(0). מקדמי המהירות מקיימים z′(0)=ωB, ולכן Bᵢ=(vᵢᵀq′(0))/ωᵢ כאשר ωᵢ>0.
A=Qᵀq₀; Bᵢ=(vᵢᵀu₀)/ωᵢמחזירים למרחב הפיזי
כל אופן נותן תבנית מרחבית vᵢ ופונקציית זמן zᵢ. סכום התבניות הוא התנועה שנראה במסות.
q(t)=Σzᵢ(t)vᵢבודקים אנרגיה
ללא ריסון או forcing, האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית מתחלפות אך סכומן קבוע. בבסיס העצמי הסכום מתפרק לאנרגיות של האופנים העצמאיים.
E=½‖q′‖²+½qᵀKq=constantמסות שאינן יחידה
כאשר M חיובית וסימטרית, מחפשים Kv=λMv ומנרמלים לפי vᵀMv=1. אותם λ נותנים ω².
Kv=λMv; ω=√λ
עכשיו רואים את השיטה בפעולה
דוגמאות פתורות, צעד אחר צעד
שתי מסות ושני תדרים
עבור q″+Kq=0, K=[[5,−4],[−4,5]], מצאו את האופנים ואת התדרים.
הפולינום האופייני הוא (5−λ)²−16=(λ−1)(λ−9).
ל־λ₁=1 מתקבל v₁=(1,1)/√2: המסות נעות יחד. התדר הוא ω₁=1.
ל־λ₂=9 מתקבל v₂=(1,−1)/√2: המסות נעות בכיוונים מנוגדים. התדר הוא ω₂=3.
הווקטורים מאונכים ומנורמלים, ולכן Q=[v₁ v₂] מקיימת QᵀKQ=diag(1,9).
ω₁=1 עם v₁=(1,1)/√2; ω₂=3 עם v₂=(1,−1)/√2.
מתנאי התחלה לפתרון מלא
באותה מערכת נתונים q(0)=(3,5), q′(0)=(2,0). מצאו את מקדמי האופנים.
נוח תחילה להשתמש בווקטורים הלא־מנורמלים (1,1),(1,−1): q(0)=4(1,1)−1(1,−1), ולכן A₁=4, A₂=−1.
נגזרת הפתרון בזמן 0 היא B₁ω₁(1,1)+B₂ω₂(1,−1).
פותרים (2,0)=B₁(1,1)+3B₂(1,−1). חיבור וחיסור נותנים B₁=1 ו־B₂=1/3.
אם כותבים את האיבר השני כמקדם לפני sin(3t)·(1,−1), המקדם הוא 1/3; אם משתמשים בקואורדינטת מהירות C₂=B₂ω₂, היא 1. חשוב לציין איזו מוסכמה נבחרה.
הפתרון הוא [4cos t+sin t](1,1)+[−cos 3t+(1/3)sin 3t](1,−1).
q(t)=(4cos t+sin t)(1,1)+(−cos 3t+(1/3)sin 3t)(1,−1).
q(0)=(3,5), q′(0)=(2,0)איפה זה פוגש את העולם
יישום
מהנדסים משתמשים באופנים נורמליים כדי לנתח בניינים, גשרים, כלי נגינה ומולקולות. במקום לעקוב אחרי אלפי קואורדינטות מצומדות, בוחרים את האופנים המשמעותיים ואת התדרים שעלולים להיכנס לתהודה.
מלכודת נפוצה
מה כדאי לבדוק
לכתוב e^(λt) במערכת תנודות מסדר שני עם K חיובית. כאן המשוואה היא z″+λz=0, ולכן הפתרון הוא cos(√λt) ו־sin(√λt), לא אקספוננט גדל. סימן המינוס בכוח המחזיר הוא מה שיוצר תנודה.
בודקים שהרעיון יושב
תרגול ומשוב
בדיקת הבנה
בחרו תשובה ורק אז בדקו את עצמכם
בחרו אחת מהאפשרויות כדי להמשיך.
עכשיו אתם
אתגר קצר
עבור K=[[1,−1],[−1,1]], מצאו את שני האופנים. מה המשמעות הפיזיקלית של λ=0, ומהו הפתרון של האופן הזה אם מהירותו ההתחלתית אינה אפס?
רמז ראשון
בדקו את (1,1) ואת (1,−1). עבור λ=0 משוואת האופן היא z″=0 ולא משוואת סינוס.
הצגת דרך הפתרון
- K(1,1)=0, לכן λ₁=0 והאופן המשותף הוא תרגום קשיח: הקפיץ הפנימי אינו נמתח.
- K(1,−1)=2(1,−1), לכן λ₂=2 והתדר היחסי הוא √2.
- באופן האפס מתקבלת z₁″=0, ולכן z₁(t)=a+bt.
- אם b≠0, מרכז המסה נע במהירות קבועה; זו אינה אי־יציבות מעריכית אלא היעדר כוח מחזיר לתרגום משותף.
מימוש הנושא
קוד שאפשר לקחת לניסוי
הקוד מיישם את אותו רעיון מתמטי. ב־JavaScript אפשר להריץ אותו כאן; גרסת Python זמינה להשוואה ולהעתקה.
הקוד מחשב אנליטית את שני הערכים של K סימטרית 2×2, מנרמל את האופנים ובונה תנועה ממקדמי אופן נתונים.
עבור K=[[5,−4],[−4,5]] יתקבלו λ=1,9 ותדרים 1,3; האנרגיה בזמנים שונים תישאר קבועה עד שגיאת עיגול.
אפסו את האופן המהיר ואז את האופן האיטי. כיצד משתנים היחסים בין תנועות שתי המסות?
מהרעיון אל הקוד
מימוש חישובי
function symmetricModes(K) {
const mean = (K[0][0]+K[1][1])/2;
const radius = Math.hypot((K[0][0]-K[1][1])/2, K[0][1]);
return [mean-radius, mean+radius].map(value => {
let vector = Math.abs(K[0][1]) > 1e-12
? [K[0][1], value-K[0][0]] : [1, 0];
const length = Math.hypot(...vector);
vector = vector.map(entry => entry/length);
return { value, frequency: Math.sqrt(Math.max(0, value)), vector };
});
}
function state(K, amplitudes, t) {
const modes = symmetricModes(K);
const q = [0, 0], velocity = [0, 0];
modes.forEach((mode, i) => {
const phase = mode.frequency*t;
mode.vector.forEach((entry, j) => {
q[j] += amplitudes[i]*Math.cos(phase)*entry;
velocity[j] -= amplitudes[i]*mode.frequency*Math.sin(phase)*entry;
});
});
const Kq = K.map(row => row[0]*q[0]+row[1]*q[1]);
const energy = 0.5*(velocity[0]**2+velocity[1]**2+q[0]*Kq[0]+q[1]*Kq[1]);
return { q, velocity, energy };
}
const K = [[5, -4], [-4, 5]];
console.log("modes", symmetricModes(K));
for (const t of [0, 0.4, 1.2]) console.log(t, state(K, [2, 1], t));from math import cos, hypot, sin, sqrt
def symmetric_modes(K):
mean = (K[0][0]+K[1][1])/2
radius = hypot((K[0][0]-K[1][1])/2, K[0][1])
modes = []
for value in [mean-radius, mean+radius]:
vector = [K[0][1], value-K[0][0]] if abs(K[0][1]) > 1e-12 else [1, 0]
length = hypot(*vector)
vector = [entry/length for entry in vector]
modes.append({"value": value, "frequency": sqrt(max(0, value)), "vector": vector})
return modes
def state(K, amplitudes, t):
modes = symmetric_modes(K)
q, velocity = [0, 0], [0, 0]
for i, mode in enumerate(modes):
phase = mode["frequency"]*t
for j, entry in enumerate(mode["vector"]):
q[j] += amplitudes[i]*cos(phase)*entry
velocity[j] -= amplitudes[i]*mode["frequency"]*sin(phase)*entry
Kq = [row[0]*q[0]+row[1]*q[1] for row in K]
energy = .5*(sum(v*v for v in velocity)+sum(a*b for a, b in zip(q, Kq)))
return {"q": q, "velocity": velocity, "energy": energy}
K = [[5, -4], [-4, 5]]
print("modes", symmetric_modes(K))
for t in [0, .4, 1.2]:
print(t, state(K, [2, 1], t))לפני שממשיכים
מה לוקחים מהשיעור
- סימטריה מבטיחה ערכים עצמיים ממשיים ובסיס עצמי אורתונורמלי.
- מעבר ל־Q מפרק מערכת מצומדת לאוסצילטורים סקלריים עצמאיים.
- במערכת מסות יחידה, הערך העצמי הוא ω² ולא ω.
- הקרנת תנאי ההתחלה קובעת אילו אופנים באמת מופעלים; אנרגייתם הכוללת נשמרת ללא ריסון.
משימת מעבדה לשיעור הזה
תחנה 4 — להפעיל אופן אחד בכל פעם
שנו את תערובת האופנים והזמן, צפו במסות, והשוו בין האנרגיה הקינטית לפוטנציאלית.
מקורות להעמקה בלבד — השיעור עומד בפני עצמו
מדריך המרצים: עמ׳ 185–190
ספר הלימוד: עמ׳ 372–384