משוואות מסדר ראשון
לינארי מול לא־לינארי
Four Examples: Linear versus Nonlinear
לומדים לקרוא משוואה דיפרנציאלית כחוק קצב, ולזהות מתי עקרון הסופרפוזיציה תקף.
- 1נקודת פתיחהמה כבר ידוע ומה השאלה?
- 2ניבוימה יקרה במקרה הפשוט?
- 3המחשהמה באמת משתנה בתמונה?
- 4ניסוח והצדקהשם, נוסחה ולמה היא נכונה
- 5בדיקהדוגמה, תרגול ומשוב
- 6העברהמקרה חדש והמשך המסלול
שאלה לפני נוסחה
מה אנחנו מנסים לראות?
לקרוא משוואה דיפרנציאלית כחוק שינוי, לסווג אותה כלינארית או לא־לינארית, ולהבין בדיוק מתי מותר לחבר פתרונות.
דמיינו מערכת שמערבבת תגובות בלי לגרום להן להשפיע זו על זו. במערכת לינארית אפשר לחשב כל תגובה בנפרד ולחבר. איבר כמו y² יוצר אינטראקציה, ולכן החיבור כבר אינו נשמר.
לפני ההמחשה: קראו רק את הכותרת “אותה פעולה, תוצאה שונה”. מה לדעתכם ישתנה, מה יישאר קבוע, ואיזה סימן בתמונה יוכל להפריך את הניבוי?
לראות לפני שמחשבים · המקרה הפשוט ביותר
אותה פעולה, תוצאה שונה
בגרף השמאלי מכפילים פתרון של y′=y; בימני עושים זאת לפתרון של y′=y².
מה כדאי לגלות: עקבו אחרי העקומה המקווקוות: מדוע הכפלה פי 2 שומרת על היחס y′/y, אך לא על היחס y′/y²?
אחרי שראינו
בסוף השיעור תוכלו
- להסביר מהן משוואה דיפרנציאלית, פונקציה לא־ידועה, פתרון ותנאי התחלה.
- לסווג משוואה מסדר ראשון לפי האופן שבו y ו־y′ מופיעים בה.
- לבדוק סופרפוזיציה באמצעות הצבה במשוואה המקורית.
נותנים שמות למה שראינו
מושגים שנשתמש בהם
- משוואה דיפרנציאלית
- משוואה שקושרת פונקציה לא ידועה לנגזרות שלה.
- פתרון
- פונקציה שמקיימת את המשוואה בכל נקודה בתחום שבו עובדים.
- תנאי התחלה
- ערך נתון, למשל y(0)=2, שבוחר פתרון אחד מתוך משפחה.
- הומוגנית
- משוואה לינארית שבה המקור הוא אפס: L[y]=0.
- אופרטור L
- כלל שמקבל פונקציה y ומחזיר ביטוי חדש, כאן L[y]=y′+p(t)y.
- סקלר
- מספר רגיל הכופל פונקציה; α ו־β הם שמות כלליים לשני סקלרים.
- סופרפוזיציה
- העיקרון שלפיו צירוף לינארי של פתרונות הומוגניים הוא שוב פתרון.
מהמילים אל הסימנים
כותבים את הפעולה שכבר ראינו
פתחו את הנוסחה רק אחרי שאתם יכולים לומר במילים מה כל פעולה אמורה לעשות. בשלב הבא נצדיק אותה צעד אחר צעד.
להצגת נוסחת המפתח
קראו כל סימן כפעולה, לא כמשהו שצריך לשנןy′ = y לעומת y′ = y²מרכיבים את הפעולות
מהתמונה אל הנוסחה — הגזירה, בלי לדלג על הצעדים
מה המשוואה מבקשת מאיתנו?
t הוא המשתנה הבלתי־תלוי, y(t) היא הפונקציה המבוקשת, ו־y′(t) הוא קצב השינוי שלה. פתרון חייב לקיים את השוויון בכל t בתחום.
y'(t) = f(t, y(t))הצורה הלינארית
y ו־y′ מופיעים רק בחזקה ראשונה, אינם מוכפלים זה בזה ואינם נמצאים בתוך פונקציה כמו sin(y). p ו־q יכולים להשתנות בזמן.
L[y] = y' + p(t)y = q(t)עוצרים לחשוב: t·y הוא איבר לינארי; y², y·y′ ו־sin(y) אינם לינאריים.
מוכיחים סופרפוזיציה
נגזרת וחיבור עם p(t)y מתפלגים על סכום. לכן L של צירוף שווה לאותו צירוף של ערכי L.
L[αy₁+βy₂] = αL[y₁] + βL[y₂]מה קורה כשיש מקור?
אם L[y₁]=L[y₂]=q, אז הסכום נותן 2q ולא q. לעומת זאת ההפרש מבטל את המקור ותמיד פותר את הבעיה ההומוגנית.
L[y₁-y₂] = q-q = 0מדוע ריבוע שובר את הכלל?
בריבוע של סכום מופיע איבר מעורב. הוא אינו קיים כאשר מחשבים בנפרד αy₁²+βy₂², ולכן פעולת הריבוע אינה לינארית.
(αy₁+βy₂)² = α²y₁² + 2αβy₁y₂ + β²y₂²
עכשיו רואים את השיטה בפעולה
דוגמה פתורה, צעד אחר צעד
בודקים במקום לנחש
בדקו סופרפוזיציה במשוואה הלינארית ההומוגנית y′+3y=0 עם y₁=e⁻³ᵗ ו־y₂=5e⁻³ᵗ, ולאחר מכן במשוואה הלא-לינארית y′=y² עם y₁=1/(2−t) ו־2y₁.
ל־y₁ מתקבל y₁′+3y₁=−3e⁻³ᵗ+3e⁻³ᵗ=0; גם y₂ מקיימת את אותה בדיקה.
הסכום הוא 6e⁻³ᵗ. נגזרתו −18e⁻³ᵗ, ולכן הצבה נותנת אפס: הסכום פתרון.
במשוואה y′=y², הפונקציה y₁=1/(2−t) מקיימת y₁′=y₁² בכל תחום שאינו חוצה את t=2.
עבור 2y₁ הנגזרת היא 2/(2−t)², אך הריבוע הוא 4/(2−t)². השוויון נשבר.
המשוואה הלינארית ההומוגנית שומרת על חיבור וכפל בסקלר. המשוואה הריבועית אינה שומרת עליהם.
(6e^(-3t))' + 3·6e^(-3t) = 0איפה זה פוגש את העולם
יישום
במעגלים ובמערכות בקרה אפשר לחשב בנפרד תגובה לכל מקור ולחבר אותן, כל עוד המודל לינארי. רכיב רווי או משוב ריבועי מבטלים את הקיצור הזה.
מלכודת נפוצה
מה כדאי לבדוק
לחשוב שמכפלה t·y הופכת משוואה ללא־לינארית. המשתנה t הוא המקדֵם, ולכן y′=t y לינארית; לעומת זאת y′=t y² אינה לינארית.
בודקים שהרעיון יושב
תרגול ומשוב
בדיקת הבנה
בחרו תשובה ורק אז בדקו את עצמכם
בחרו אחת מהאפשרויות כדי להמשיך.
עכשיו אתם
אתגר קצר
בדקו את y′+sin(t)y=t²: האם היא לינארית, האם סכום שני פתרונות שלה הוא פתרון, ומה כן אפשר לומר על ההפרש ביניהם?
רמז ראשון
הגדירו L[y]=y′+sin(t)y וחשבו בנפרד L[y₁+y₂] ו־L[y₁−y₂].
הצגת דרך הפתרון
- זוהי משוואה לינארית: p(t)=sin(t) ו־q(t)=t²; שניהם תלויים רק ב־t.
- אם y₁ ו־y₂ פותרים אותה, L[y₁+y₂]=2t² ולכן הסכום בדרך כלל אינו פתרון של אותה משוואה.
- ההפרש מקיים L[y₁−y₂]=t²−t²=0, ולכן הוא פתרון של המשוואה ההומוגנית.
מימוש הנושא
קוד שאפשר לקחת לניסוי
הקוד מיישם את אותו רעיון מתמטי. ב־JavaScript אפשר להריץ אותו כאן; גרסת Python זמינה להשוואה ולהעתקה.
הפונקציה residual מחשבת את ההפרש y′−f(y): פתרון אמיתי צריך לתת שארית הקרובה לאפס.
עבור 2eᵗ במשוואה y′=y תתקבל שארית כמעט אפס; במשוואה y′=y² תתקבל שארית שאינה אפס.
החליפו את המקדם 2 במקדם אחר. אילו מקדמים ממשיכים לפתור את המשוואה הלינארית, ומה קורה בריבועית?
מהרעיון אל הקוד
מימוש חישובי
function derivative(f, t, h = 1e-5) {
return (f(t + h) - f(t - h)) / (2 * h);
}
function residual(f, rhs, t) {
return derivative(f, t) - rhs(f(t));
}
const expSolution = (t) => Math.exp(t);
const doubled = (t) => 2 * Math.exp(t);
console.log(residual(doubled, (y) => y, 0.4)); // ≈ 0
console.log(residual(doubled, (y) => y ** 2, 0.4)); // not 0def derivative(f, t, h=1e-5):
return (f(t+h) - f(t-h)) / (2*h)
def residual(f, rhs, t):
return derivative(f, t) - rhs(f(t))
from math import exp
exp_solution = lambda t: exp(t)
doubled = lambda t: 2*exp(t)
print(residual(doubled, lambda y: y, 0.4)) # approximately 0
print(residual(doubled, lambda y: y**2, 0.4)) # not 0לפני שממשיכים
מה לוקחים מהשיעור
- לינאריות נבדקת ביחס לפונקציה הלא־ידועה y, לא ביחס ל־t.
- סופרפוזיציה מלאה חלה על פתרונות של משוואה לינארית הומוגנית.
- במשוואה עם מקור, ההפרש בין שני פתרונות הוא פתרון הומוגני.
משימת מעבדה לשיעור הזה
תחנה 1 — חוק מקומי ולינאריות
השוו את חוק הקצב המעריכי לחוק הלוגיסטי, ושאלו איזה מהם נשאר לינארי ב־y ואיזה מכיל את האינטראקציה y².
מקורות להעמקה בלבד — השיעור עומד בפני עצמו
מדריך המרצים: עמ׳ 2–3
ספר הלימוד: עמ׳ 1–3