משוואות מסדר ראשון

מודלים של גידול ודעיכה

Models of Growth and Decay

מחברים שיעור משתנה ומקור חיצוני למודל אחד ובודקים גם את היחידות.

יחידת לימוד עצמאיתשיעור 6 מתוך 8כ־40 דקות כולל תרגול3 מטרות למידה

1
נקודת פתיחהמה כבר ידוע ומה השאלה?
2
ניבוימה יקרה במקרה הפשוט?
3
המחשהמה באמת משתנה בתמונה?
4
ניסוח והצדקהשם, נוסחה ולמה היא נכונה
5
בדיקהדוגמה, תרגול ומשוב
6
העברהמקרה חדש והמשך המסלול

שאלה לפני נוסחה

מה אנחנו מנסים לראות?

לבנות מודל עם שיעור משתנה a(t), לפרש את גורם המעבר G(s,t), ולבדוק שהמקדמים והמקורות עקביים ביחידות.

שיעור רגעי אינו מצטבר בחיבור של אחוזים אלא בחיבור של לוגריתמים. האינטגרל של a לאורך הזמן הוא הלוגריתם של גורם הגידול הכולל.

לפני ההמחשה: קראו רק את הכותרת “השטח בקצב הופך לגורם גידול”. מה לדעתכם ישתנה, מה יישאר קבוע, ואיזה סימן בתמונה יוכל להפריך את הניבוי?

לראות לפני שמחשבים · המקרה הפשוט ביותר

השטח בקצב הופך לגורם גידול

עקבו מהצורה הראשונית אל התוצאה

משמאל a(t) חיובי עד t=3 ושלילי אחריו; מימין הפתרון שנוצר מן האקספוננט של השטח החתום.

מה כדאי לגלות: זהו את הזמן שבו a(t) מחליף סימן. מה אמור לקרות לשיפוע של y(t) באותו רגע?

אחרי שראינו

בסוף השיעור תוכלו

לפתור y′=a(t)y באמצעות אינטגרל של הקצב.
לחשב ולפרש את גורם המעבר G(s,t) ואת חוק ההרכבה שלו.
לקרוא את נוסחת הפתרון עם מקור q(t) ולבדוק עקביות של יחידות.

נותנים שמות למה שראינו

מושגים שנשתמש בהם

קצב משתנה a(t): שיעור יחסי רגעי, בעל יחידות 1/זמן, שיכול להשתנות לאורך התהליך.
גורם מעבר G(s,t): מכפיל שמעביר מצב מזמן s לזמן t בהיעדר מקור: y(t)=G(s,t)y(s). כאשר y(s)≠0 הוא גם היחס y(t)/y(s).
חוק הרכבה: מעבר מ־r ל־t שווה למעבר מ־r ל־s ואז מ־s ל־t.
מקור q(t): תוספת חיצונית בעלת יחידות של כמות/זמן.

מהמילים אל הסימנים

כותבים את הפעולה שכבר ראינו

פתחו את הנוסחה רק אחרי שאתם יכולים לומר במילים מה כל פעולה אמורה לעשות. בשלב הבא נצדיק אותה צעד אחר צעד.

להצגת נוסחת המפתח

קראו כל סימן כפעולה, לא כמשהו שצריך לשנןG(s,t)=exp(∫ₛᵗa(T)dT)

מרכיבים את הפעולות

מהתמונה אל הנוסחה — הגזירה, בלי לדלג על הצעדים

הופכים קצב יחסי ללוגריתם
מחוץ לפתרון האפס, חלוקה ב־y וכלל השרשרת נותנים נגזרת של ln|y|. כעת הקצב אינו קבוע ולכן יש לאינטגרל אותו.
d(ln|y|)/dt = a(t)
מגדירים גורם מעבר
s הוא זמן ההתחלה, t זמן היעד ו־τ הוא רק משתנה האינטגרציה. המעריך הוא השטח החתום של הקצב בין הזמנים.
G(s,t)=exp(∫[s→t] a(τ)dτ), y(t)=G(s,t)y(s)
מוכיחים חוק הרכבה
פיצול האינטגרל בנקודת ביניים הופך סכום במעריך למכפלת אקספוננטים. לכן שני מעברים רצופים שקולים למעבר אחד.
G(r,t)=G(s,t)G(r,s)
מחזירים את המקור
כל תרומת מקור בזמן s מועברת אל t באמצעות G(s,t). הנוסחה מכלילה את הקונבולוציה של שיעור 1.4.
y(t)=G(0,t)y₀+∫[0→t]G(s,t)q(s)ds
בודקים יחידות וסימן
a ביחידות 1/זמן ו־q ביחידות כמות/זמן. ללא מקור ועבור y>0 בלבד, סימן a קובע אם y עולה או יורדת; עם מקור בודקים את a(t)y+q(t).
[a]=time⁻¹, [q]=quantity·time⁻¹, [∫a dt]=1

עכשיו רואים את השיטה בפעולה

דוגמה פתורה, צעד אחר צעד

דוגמה 1

קצב שגדל עם הזמן

הזמן נמדד בשעות. עבור a(t)=(0.1 h⁻²)t ללא מקור ו־y(0)=50, מצאו את y(3 h).

מציבים G(0,3)=exp(∫₀³0.1τ dτ). המשתנה τ נמדד בשעות.
האינטגרל הוא 0.1[τ²/2]₀³=0.45, מספר חסר יחידות.
לכן G(0,3)=exp(0.45)≈1.568.
מציבים בחזרה: y(3)=G(0,3)·y(0)=1.568·50≈78.4.

התוצאה ומה היא אומרת

y(3)=50·1.568≈78.4.

y(3)=50e^0.45≈78.4

איפה זה פוגש את העולם

יישום

שיעור ריבית עונתי, סיכון המשתנה עם גיל או פינוי תרופה המשתנה בזמן דורשים a(t), ולא קבוע יחיד שמסתיר מתי התרחש הגידול או הדעיכה.

מלכודת נפוצה

מה כדאי לבדוק

להחליף את ∫a(t)dt ב־a(t)·t גם כאשר a משתנה, או לחבר q ל־a למרות שיש להם יחידות שונות.

בודקים שהרעיון יושב

תרגול ומשוב

בדיקת הבנה

בחרו תשובה ורק אז בדקו את עצמכם

מתי פתרון חיובי של y′=a(t)y מגיע לקיצון פנימי?

כאשר a(t)=0 ומחליף סימןכאשר G=0רק כאשר y=0

בחרו אחת מהאפשרויות כדי להמשיך.

עכשיו אתם

אתגר קצר

עבור a(t)=0.2−0.04t וללא מקור, מצאו מתי y מגיעה לשיא ומהו היחס y(5)/y(0), בלי לפתור נקודה־נקודה.

רמז ראשון

לפתרון חיובי ללא מקור, השיא מתרחש כאשר a(t) מחליף סימן. היחס בין הערכים הוא G(0,5).

הצגת דרך הפתרון

עבור y>0 מתקיים sign(y′)=sign(a). הקצב a(t)=0.2−0.04t מתאפס ב־t=5 ועובר מחיובי לשלילי, ולכן שם השיא.
היחס הוא G(0,5)=exp(∫₀⁵(0.2−0.04τ)dτ).
האינטגרל הוא [0.2τ−0.02τ²]₀⁵=1−0.5=0.5, ולכן y(5)/y(0)=e^0.5≈1.649.

מימוש הנושא

קוד שאפשר לקחת לניסוי

הקוד מיישם את אותו רעיון מתמטי. ב־JavaScript אפשר להריץ אותו כאן; גרסת Python זמינה להשוואה ולהעתקה.

הקשר למתמטיקה

growthFactor מחשבת את G(s,t) מן ההפרש בין ערכי פונקציה קדומה של a(t). המכפלה בשני שלבים בודקת את חוק ההרכבה.

פלט צפוי

G(0,5)=e^0.5≈1.6487, וההפרש בין מעבר ישיר למעבר בשני שלבים צריך להיות כמעט אפס.

ניסוי המשך

שנו את נקודת הפיצול 2 לערך אחר בין 0 ל־5. מדוע תוצאת המעבר הכולל אינה משתנה?

מהרעיון אל הקוד

מימוש חישובי

function growthFactor(start, end) {
  // a(t)=0.2-0.04t, whose antiderivative is 0.2t-0.02t²
  const primitive = (t) => 0.2 * t - 0.02 * t ** 2;
  return Math.exp(primitive(end) - primitive(start));
}

const direct = growthFactor(0, 5);
const inTwoStages = growthFactor(0, 2) * growthFactor(2, 5);
console.log(direct);                    // e^0.5 ≈ 1.6487
console.log(direct - inTwoStages);      // ≈ 0: composition law

from math import exp

def growth_factor(start, end):
    # a(t)=0.2-0.04t; primitive=0.2t-0.02t^2
    primitive = lambda t: 0.2*t - 0.02*t*t
    return exp(primitive(end)-primitive(start))

direct = growth_factor(0, 5)
in_two_stages = growth_factor(0, 2)*growth_factor(2, 5)
print(direct)                       # e^0.5
print(direct-in_two_stages)         # approximately 0

לפני שממשיכים

מה לוקחים מהשיעור

גורם המעבר הוא האקספוננט של השטח המצטבר מתחת לקצב.
חוק ההרכבה מאפשר לפרק כל פרק זמן לתת־מרווחים בלי לשנות את התוצאה.
בדיקת יחידות מבטיחה שהמעריך חסר יחידות ושמקור אינו מתבלבל עם קצב יחסי.

משימת מעבדה לשיעור הזה

תחנה 2 — קצב ומקור לאורך זמן

השוו תגובה חופשית לתגובה מאולצת, וזהו בתרשים איזו תרומה נובעת מהמצב ההתחלתי ואיזו מן המקור.

לפתיחת התחנה

מקורות להעמקה בלבד — השיעור עומד בפני עצמו

מדריך המרצים: עמ׳ 20–25

ספר הלימוד: עמ׳ 40–52