משוואות מסדר ראשון

סינוסים ממשיים ומרוכבים

Real and Complex Sinusoids

מייצגים משרעת ופאזה בווקטור מרוכב ומבינים תגובה מחזורית של מערכת.

יחידת לימוד עצמאיתשיעור 5 מתוך 8כ־50 דקות כולל תרגול3 מטרות למידה

1
נקודת פתיחהמה כבר ידוע ומה השאלה?
2
ניבוימה יקרה במקרה הפשוט?
3
המחשהמה באמת משתנה בתמונה?
4
ניסוח והצדקהשם, נוסחה ולמה היא נכונה
5
בדיקהדוגמה, תרגול ומשוב
6
העברהמקרה חדש והמשך המסלול

שאלה לפני נוסחה

מה אנחנו מנסים לראות?

לתאר גל באמצעות משרעת ופאזה, ולפתור תגובה סינוסואידלית של משוואה מסדר ראשון בשיטה ממשית ובקיצור מרוכב.

הזוג (A,B) הוא וקטור במישור המקדמים: אורכו R וזוויתו +φ. כדי לקבל בהיטל את Rcos(ωt−φ), הפאזור שמייצג את הגל מתחיל דווקא בזווית −φ ומסתובב בקצב ω. אלה שני ייצוגים משלימים, לא אותו וקטור באותו רגע.

לפני ההמחשה: קראו רק את הכותרת “וקטור מסתובב מטיל גל”. מה לדעתכם ישתנה, מה יישאר קבוע, ואיזה סימן בתמונה יוכל להפריך את הניבוי?

לראות לפני שמחשבים · המקרה הפשוט ביותר

וקטור מסתובב מטיל גל

עקבו מהצורה הראשונית אל התוצאה

הפאזור הכחול מתחיל בזווית −φ ואורכו R; ההיטל האופקי המסומן הוא הערך הראשון של הגל הירוק.

מה כדאי לגלות: נבאו כיצד הגדלת R או φ תשנה את הגל: איזה שינוי משפיע על הגובה ואיזה מזיז אותו בזמן?

אחרי שראינו

בסוף השיעור תוכלו

לעבור בין A cos(ωt)+B sin(ωt) לבין R cos(ωt−φ).
למצוא תגובה מחזורית ל־y′=ay+cos(ωt) ולצרף אליה תגובת מעבר.
לפרש את הכתיב המרוכב Re{Cωe^(iωt)} בלי להזדקק לחומר חיצוני.

נותנים שמות למה שראינו

מושגים שנשתמש בהם

משרעת R: המרחק המרבי של הגל מקו האמצע; כאן R≥0.
תדירות זוויתית ω: קצב התקדמות הזווית ברדיאנים ליחידת זמן; כאשר ω≠0 המחזור הוא T=2π/|ω|.
פאזה φ: זווית התחלתית. בביטוי Rcos(ωt−φ) היא שקולה להזזה בזמן של φ/ω כאשר ω≠0.
היחידה המדומה i: מספר שמקיים i²=−1 ומאפשר לייצג סיבוב בעזרת אקספוננט.
חלק ממשי Re: אם z=x+iy, אז Re(z)=x; זהו האות הפיזיקלי שאנו שומרים.
צמוד מרוכב: ל־z=x+iy הצמוד הוא x−iy; המכפלה ביניהם היא |z|²=x²+y².

מהמילים אל הסימנים

כותבים את הפעולה שכבר ראינו

פתחו את הנוסחה רק אחרי שאתם יכולים לומר במילים מה כל פעולה אמורה לעשות. בשלב הבא נצדיק אותה צעד אחר צעד.

להצגת נוסחת המפתח

קראו כל סימן כפעולה, לא כמשהו שצריך לשנןA cos ωt + B sin ωt = R cos(ωt−φ)

מרכיבים את הפעולות

מהתמונה אל הנוסחה — הגזירה, בלי לדלג על הצעדים

מאחדים סינוס וקוסינוס
זהות הפרש הזוויות נותנת מקדם Rcosφ לקוסינוס ומקדם Rsinφ לסינוס. לכן האורך והזווית נקבעים מן הזוג A,B.
R=√(A²+B²), φ=atan2(B,A)
עוצרים לחשוב: atan2 שומר את הרבע הנכון; arctan(B/A) עלול לאבד אותו.
מכירים את זמן המחזור
הגל חוזר על עצמו כאשר הזווית גדלה ב־2π. לכן תדירות גדולה יותר פירושה מחזור קצר יותר; הפאזה אינה משנה את המחזור.
T = 2π/|ω|
עוצרים לחשוב: הנוסחה דורשת ω≠0; כאשר ω=0 המקור קבוע ואינו גל מחזורי.
מנחשים תגובה באותו תדר
עבור y′=ay+cos(ωt), נגזרת של סינוסואיד נשארת באותו מרחב. לכן ננסה צירוף עם שני מקדמים לא ידועים.
yₚ=M cos(ωt)+N sin(ωt)
משווים מקדמים
הנגזרת היא −Mωsin(ωt)+Nωcos(ωt). אחרי הצבה משווים בנפרד את מקדמי cos ואת מקדמי sin.
Nω=aM+1, −Mω=aN
פותרים את מערכת המקדמים
מן המשוואה השנייה מתקבל aN=−Mω. הצבה בראשונה ובידוד נותנים את M; לאחר מכן חוזרים ומוצאים את N.
M=−a/(a²+ω²), N=ω/(a²+ω²)
מוסיפים תגובת מעבר
הפתרון הכללי כולל גם Ce^(at). אם a<0, התגובה החולפת או transient דועכת ונשאר רק ה־steady state המחזורי.
y(t)=Ce^(at)+M cos(ωt)+N sin(ωt)
הקיצור המרוכב
נוסחת אוילר היא e^(iθ)=cosθ+i sinθ. פותרים עבור אות מרוכב ולוקחים חלק ממשי; כפל בצמוד המרוכב מפשט את המכנה.
Cω=1/(iω−a), yₚ=Re{Cω e^(iωt)}

עכשיו רואים את השיטה בפעולה

דוגמאות פתורות, צעד אחר צעד

דוגמה 1

ממקדמים למשרעת ופאזה

כתבו 5cos(3t)−12sin(3t) בצורה Rcos(3t−φ).

A=5, B=−12, ולכן R=√(25+144)=13.
φ=atan2(−12,5)≈−1.176 רדיאנים; הסימנים מציבים אותו ברביע הרביעי.
מציבים: Rcos(3t−φ)=13cos(3t+1.176). בדיקה ב־t=0 נותנת 13cos(1.176)=5.

התוצאה ומה היא אומרת

המשרעת היא 13 והפאזה היא כ־−1.176 רדיאנים.

5cos(3t)−12sin(3t)=13cos(3t+1.176)

דוגמה 2

תגובה סינוסואידלית מלאה

פתרו y′=−y+cos(2t), y(0)=0.

a=−1 ו־ω=2, ולכן M=1/5 ו־N=2/5.
הפתרון הוא y=Ce^(−t)+(1/5)cos(2t)+(2/5)sin(2t).
מתנאי ההתחלה 0=C+1/5 מקבלים C=−1/5.
החלק e^(−t) דועך; התגובה המתמידה בעלת משרעת 1/√5 ופאזה atan2(2/5,1/5)=atan(2).

התוצאה ומה היא אומרת

אחרי תגובת מעבר קצרה נשאר גל בתדר המקור, עם משרעת קטנה והשהיית פאזה.

y(t)=−e^(−t)/5 + cos(2t)/5 + 2sin(2t)/5

איפה זה פוגש את העולם

יישום

בזרם חילופין ובמערכות קול, חיבור סינוסים באותו תדר מצטמצם לחיבור וקטורים מרוכבים. כך רואים מיד הגברה, הנחתה והשהיית פאזה.

מלכודת נפוצה

מה כדאי לבדוק

לחשב φ בעזרת arctan(B/A), שמאבד את הרבע ולעיתים נכשל כאשר A=0. הפונקציה atan2(B,A) שומרת גם את הסימנים וגם את הרבע.

בודקים שהרעיון יושב

תרגול ומשוב

בדיקת הבנה

בחרו תשובה ורק אז בדקו את עצמכם

מה נשאר בטווח הארוך כאשר a<0 והמקור הוא cos(ωt)?

רק Ce^(at)תגובה מחזורית באותו תדרפתרון קבוע ללא תלות ב־ω

בחרו אחת מהאפשרויות כדי להמשיך.

עכשיו אתם

אתגר קצר

כתבו −3cos(2t)+4sin(2t) בצורה Rcos(2t−φ), וקבעו באיזה רבע נמצאת φ לפני החישוב המספרי.

רמז ראשון

הנקודה (A,B) היא (−3,4): מצאו תחילה את אורכה ואת הרבע שלה, ורק אז הפעילו atan2.

הצגת דרך הפתרון

A=−3 ו־B=4, ולכן הווקטור נמצא ברביע השני.
R=√(9+16)=5 ו־φ=atan2(4,−3)≈2.214 רדיאנים.
לכן −3cos(2t)+4sin(2t)=5cos(2t−2.214). בדיקה ב־t=0 מחזירה −3.

מימוש הנושא

קוד שאפשר לקחת לניסוי

הקוד מיישם את אותו רעיון מתמטי. ב־JavaScript אפשר להריץ אותו כאן; גרסת Python זמינה להשוואה ולהעתקה.

הקשר למתמטיקה

steadyCoefficients פותרת את שתי משוואות המקדמים; forcedSolution מוסיפה את Ce^(at) הנדרש לתנאי ההתחלה.

פלט צפוי

עבור a=−1,ω=2 מתקבלים M=0.2,‏ N=0.4, משרעת ≈0.4472, והפתרון מחזיר y(0)=0.

ניסוי המשך

הגדילו את ω. בדקו אם משרעת התגובה גדלה או קטנה, והסבירו זאת מן המכנה a²+ω².

מהרעיון אל הקוד

מימוש חישובי

function steadyCoefficients(a, omega) {
  const denominator = a ** 2 + omega ** 2;
  return { M: -a / denominator, N: omega / denominator };
}

function forcedSolution(t, y0, a, omega) {
  const { M, N } = steadyCoefficients(a, omega);
  const C = y0 - M;
  return C * Math.exp(a * t)
    + M * Math.cos(omega * t)
    + N * Math.sin(omega * t);
}

const { M, N } = steadyCoefficients(-1, 2);
console.log({ M, N, amplitude: Math.hypot(M, N), phase: Math.atan2(N, M) });
console.log(forcedSolution(0, 0, -1, 2)); // 0

from math import atan2, cos, exp, hypot, sin

def steady_coefficients(a, omega):
    denominator = a*a + omega*omega
    return -a/denominator, omega/denominator

def forced_solution(t, y0, a, omega):
    M, N = steady_coefficients(a, omega)
    C = y0-M
    return C*exp(a*t) + M*cos(omega*t) + N*sin(omega*t)

M, N = steady_coefficients(-1, 2)
print(M, N, hypot(M, N), atan2(N, M))
print(forced_solution(0, 0, -1, 2))

לפני שממשיכים

מה לוקחים מהשיעור

R ו־φ מרכזים שני מקדמים למשרעת אחת ולהזזה אחת.
מקור סינוסואידלי יוצר תגובה באותו תדר וגם תגובת מעבר התלויה בתנאי ההתחלה.
הכתיב המרוכב הוא קיצור אלגברי; האות הנמדד הוא החלק הממשי.

משימת מעבדה לשיעור הזה

תחנה 2 — תגובת מקור ותגובה חופשית

החליפו את המקור, הפרידו בין תגובת המעבר לתגובה המאולצת, ובדקו כיצד תדירות המקור משנה את המשרעת והפאזה.

לפתיחת התחנה

מקורות להעמקה בלבד — השיעור עומד בפני עצמו

מדריך המרצים: עמ׳ 14–20

ספר הלימוד: עמ׳ 30–39