משוואות מסדר ראשון

פתרון פרטי ותגובה למקור

Four Particular Solutions

מפרידים בין תגובת תנאי ההתחלה לבין תגובת forcing: קבוע, מדרגה, הלם או מקור מעריכי.

יחידת לימוד עצמאיתשיעור 4 מתוך 8כ־55 דקות כולל תרגול3 מטרות למידה

1
נקודת פתיחהמה כבר ידוע ומה השאלה?
2
ניבוימה יקרה במקרה הפשוט?
3
המחשהמה באמת משתנה בתמונה?
4
ניסוח והצדקהשם, נוסחה ולמה היא נכונה
5
בדיקהדוגמה, תרגול ומשוב
6
העברהמקרה חדש והמשך המסלול

שאלה לפני נוסחה

מה אנחנו מנסים לראות?

לפתור y′=ay+q(t), לפרק את התגובה לחלק חופשי ומאולץ, ולזהות את ארבעת מקורות היסוד: קבוע, מדרגה, הלם ומעריכי.

המקור q מזריק למערכת מנות זעירות בזמן s. כל מנה ממשיכה להתפתח במשך t−s, ולכן משקלה בזמן t הוא eᵃ⁽ᵗ⁻ˢ⁾.

לפני ההמחשה: קראו רק את הכותרת “הפתרון כסכום זיכרונות”. מה לדעתכם ישתנה, מה יישאר קבוע, ואיזה סימן בתמונה יוכל להפריך את הניבוי?

לראות לפני שמחשבים · המקרה הפשוט ביותר

הפתרון כסכום זיכרונות

עקבו מהצורה הראשונית אל התוצאה

כל חץ מייצג מנה שנכנסה בזמן אחר; העקומות הדקות הן תרומותיהן והעבה היא הסכום.

מה כדאי לגלות: השוו מנה מוקדמת למאוחרת כאשר a<0: למי נשאר משקל גדול יותר בזמן היעד, ומדוע?

אחרי שראינו

בסוף השיעור תוכלו

לגזור את נוסחת הפתרון באמצעות גורם אינטגרציה.
להפריד בין תגובת תנאי ההתחלה לתגובת המקור.
לחשב תגובה למקור קבוע, מדרגה, הלם או מקור מעריכי ולזהות תהודה.

נותנים שמות למה שראינו

מושגים שנשתמש בהם

מקור q(t): קלט חיצוני שמוסיף או מסיר כמות בקצב הנתון כפונקציה של הזמן.
גורם אינטגרציה: פונקציה שהכפלת המשוואה בה הופכת את אגף שמאל לנגזרת של מכפלה.
תגובה חופשית: חלק הפתרון שנובע מתנאי ההתחלה בלבד.
תגובה מאולצת: חלק הפתרון שנבנה מן המקור לאורך הזמן.
מדרגה u(t−t₀): פונקציה שערכה 0 לפני t₀ ו־1 מרגע t₀; היא מדליקה מקור בזמן נתון.
הלם δ(t−t₀): מנה רגעית אידאלית: אפס מחוץ ל־t₀ אך בעלת אינטגרל, כלומר שטח, השווה ל־1.
תהודה: כאן: מקור מעריכי בעל אותו קצב a כמו התגובה החופשית, היוצר גורם t נוסף.

מהמילים אל הסימנים

כותבים את הפעולה שכבר ראינו

פתחו את הנוסחה רק אחרי שאתם יכולים לומר במילים מה כל פעולה אמורה לעשות. בשלב הבא נצדיק אותה צעד אחר צעד.

להצגת נוסחת המפתח

קראו כל סימן כפעולה, לא כמשהו שצריך לשנןy = eᵃᵗy₀ + ∫₀ᵗeᵃ⁽ᵗ⁻ˢ⁾q(s)ds

מרכיבים את הפעולות

מהתמונה אל הנוסחה — הגזירה, בלי לדלג על הצעדים

מאחדים את אגף שמאל
מעבירים את ay שמאלה וכופלים ב־e^(−at). כלל המכפלה מראה ששני האיברים הם נגזרת אחת.
e^(−at)(y'−ay) = (e^(−at)y)'
צוברים ומבודדים את y
אינטגרציה מ־0 עד t מכניסה את y₀. לאחר כפל ב־e^(at), כל מנה q(s) נושאת משקל לפי הזמן t−s שחלף מאז נכנסה.
y(t)=e^(at)y₀ + ∫[0→t] e^(a(t−s))q(s) ds
מקור קבוע
כאשר q(t)=Q ו־a≠0, האינטגרל ניתן לחישוב. רק במקרה זה ערך קבוע y*=−Q/a הוא שיווי משקל; אם a=0 מתקבל y=y₀+Qt.
y(t)=−Q/a + (y₀+Q/a)e^(at)
מקור מדרגה ומקור הלם
מדרגה Qu(t−t₀) מתחילה תגובת מקור קבוע בזמן t₀. כאשר a=0 היא מצטברת בקו ישר. הלם δ(t−t₀) מוסיף קפיצה בגודל המנה ואז מתפתח הומוגנית.
step: a≠0 ⇒ (Q/a)(e^(a(t−t₀))−1)u(t−t₀); a=0 ⇒ Q(t−t₀)u(t−t₀); impulse: e^(a(t−t₀))u(t−t₀)
מקור מעריכי ותהודה
למקור q=e^(bt) מנסים Ce^(bt). אם b≠a מתקבל C=1/(b−a). כאשר b=a המכנה נעלם, והפתרון הפרטי הוא t·e^(at).
b≠a: yₚ=e^(bt)/(b−a) ; b=a: yₚ=t e^(at)
המשמעות של קונבולוציה
האינטגרל הוא קונבולוציה: סכום רציף של תגובות הלם מוזזות ומשוקללות. זו דרך אחת לתאר כל מקור, לא שיטה חדשה לפתרון.
y_forced(t) = (h*q)(t), h(t)=e^(at)u(t)

עכשיו רואים את השיטה בפעולה

דוגמאות פתורות, צעד אחר צעד

דוגמה 1

מקור קבוע: מתקרבים לשיווי משקל

פתרו y′=−2y+6, y(0)=1.

שיווי המשקל הוא y*=−Q/a=−6/(−2)=3. נגדיר z=y−3.
מכיוון ש־z′=y′=−2y+6=−2(y−3)=−2z, מתקבל z(t)=z(0)e^(−2t).
z(0)=1−3=−2, ולכן y(t)=3−2e^(−2t).
בדיקה: y(0)=1, ו־y′=4e^(−2t)=−2y+6.

התוצאה ומה היא אומרת

הפתרון מתחיל ב־1, עולה ומתקרב ל־3 בלי לעבור אותו.

y(t)=3−2e^(−2t)

דוגמה 2

מקור מדרגה שנדלק בזמן נתון

פתרו y′=−y+2u(t−1), y(0)=0.

לפני t=1 המקור כבוי, ולכן y′=−y עם y(0)=0; מתקבל y(t)=0.
הפתרון רציף במדרגה, ולכן y(1)=0. מרגע זה פותרים y′=−y+2 עם זמן התחלה חדש t=1.
שיווי המשקל הוא 2 וההפרש ממנו דועך: y(t)=2+(0−2)e^(−(t−1)).
לכן עבור t≥1 מתקבל y(t)=2(1−e^(−(t−1))), שמתקרב ל־2.

התוצאה ומה היא אומרת

המערכת נשארת באפס עד הפעלת המקור, ואז נבנית בהדרגה תגובה לשיווי המשקל החדש.

y(t)=0 (t<1); y(t)=2(1−e^(−(t−1))) (t≥1)

איפה זה פוגש את העולם

יישום

במודל תרופה, כל מנת עירוי דועכת מרגע כניסתה. במעגל RC, כל פיסת מתח קלט תורמת למתח הקבל לפי הזמן שחלף מאז הופיעה.

מלכודת נפוצה

מה כדאי לבדוק

לכתוב eᵃˢ במקום eᵃ⁽ᵗ⁻ˢ⁾ בתוך האינטגרל. הגרעין חייב למדוד את גיל התרומה: מקור מאוחר עבר פחות זמן של גידול או דעיכה.

בודקים שהרעיון יושב

תרגול ומשוב

בדיקת הבנה

בחרו תשובה ורק אז בדקו את עצמכם

איזו תגובה יוצרת מנה רגעית יחידה בזמן t₀?

קפיצה ולאחריה e^(a(t−t₀))מקור קבוע לכל הזמניםתמיד t·e^(at)

בחרו אחת מהאפשרויות כדי להמשיך.

עכשיו אתם

אתגר קצר

פתרו y′=2y+e^(3t), y(0)=0. הפרידו בין התגובה החופשית לתגובה המאולצת ובדקו בהצבה.

רמז ראשון

נסו פתרון פרטי Ce^(3t). לאחר מציאת C, הוסיפו De^(2t) והשתמשו בתנאי ההתחלה.

הצגת דרך הפתרון

ל־yₚ=Ce^(3t) מתקבל 3Ce^(3t)=2Ce^(3t)+e^(3t), ולכן C=1.
הפתרון הכללי הוא y=De^(2t)+e^(3t). מן התנאי y(0)=0 נקבל D=−1.
לכן y=e^(3t)−e^(2t). גזירה נותנת 3e^(3t)−2e^(2t), וזה שווה ל־2y+e^(3t).

מימוש הנושא

קוד שאפשר לקחת לניסוי

הקוד מיישם את אותו רעיון מתמטי. ב־JavaScript אפשר להריץ אותו כאן; גרסת Python זמינה להשוואה ולהעתקה.

הקשר למתמטיקה

שלוש הפונקציות מממשות מקור קבוע, מקור מעריכי והלם. בכל אחת נשמרת ההפרדה בין תגובת ההתחלה לתגובת המקור.

פלט צפוי

המקור הקבוע נותן כ־2.963, מקרה התהודה נותן e², ותגובת ההלם לאחר יחידת זמן נותנת e⁻¹.

ניסוי המשך

שנו את b מ־2 ל־3. בדקו בהצבה שהפתרון הפרטי e^(3t)/(3−2) אכן מחזיר את המקור e^(3t).

מהרעיון אל הקוד

מימוש חישובי

function constantResponse(t, y0, a, Q) {
  if (Math.abs(a) < 1e-12) return y0 + Q * t;
  const equilibrium = -Q / a;
  return equilibrium + (y0 - equilibrium) * Math.exp(a * t);
}

function exponentialParticular(t, a, b) {
  return Math.abs(b - a) < 1e-9
    ? t * Math.exp(a * t)
    : Math.exp(b * t) / (b - a);
}

function impulseResponse(t, a, t0 = 0) {
  return t < t0 ? 0 : Math.exp(a * (t - t0));
}

console.log(constantResponse(2, 1, -2, 6)); // ≈ 2.963
console.log(exponentialParticular(1, 2, 2)); // e²: resonance
console.log(impulseResponse(2, -1, 1));      // e⁻¹

from math import exp

def constant_response(t, y0, a, Q):
    if abs(a) < 1e-12:
        return y0 + Q*t
    equilibrium = -Q/a
    return equilibrium + (y0-equilibrium)*exp(a*t)

def exponential_particular(t, a, b):
    return t*exp(a*t) if abs(b-a) < 1e-9 else exp(b*t)/(b-a)

def impulse_response(t, a, t0=0):
    return 0 if t < t0 else exp(a*(t-t0))

print(constant_response(2, 1, -2, 6))
print(exponential_particular(1, 2, 2))
print(impulse_response(2, -1, 1))

לפני שממשיכים

מה לוקחים מהשיעור

גורם אינטגרציה הופך את אגף שמאל לנגזרת של מכפלה.
הפתרון הוא סכום של תגובה חופשית ותגובה מאולצת.
קבוע, מדרגה, הלם ומקור מעריכי הם אבני בניין שמכסות מקורות רבים.
תהודה מעריכית מתרחשת כאשר קצב המקור שווה ל־a ומוסיפה גורם t.

משימת מעבדה לשיעור הזה

תחנה 2 — תגובה למקור

בחרו מקור קבוע, מדרגה או הלם, והפרידו בתרשים בין התגובה החופשית, המאולצת והסכום שלהן.

לפתיחת התחנה

מקורות להעמקה בלבד — השיעור עומד בפני עצמו

מדריך המרצים: עמ׳ 7–13

ספר הלימוד: עמ׳ 17–29