שיטות גרפיות ונומריות

מקורות, בורות, אוכפים וספירלות

Sources, Sinks, Saddles, and Spirals

מסווגים נקודות שיווי משקל לפי הכיוונים שאליהם המסלולים נכנסים ויוצאים.

יחידת לימוד עצמאיתשיעור 2 מתוך 5כ־60 דקות כולל תרגול4 מטרות למידה

1
נקודת פתיחהמה כבר ידוע ומה השאלה?
2
ניבוימה יקרה במקרה הפשוט?
3
המחשהמה באמת משתנה בתמונה?
4
ניסוח והצדקהשם, נוסחה ולמה היא נכונה
5
בדיקהדוגמה, תרגול ומשוב
6
העברהמקרה חדש והמשך המסלול

שאלה לפני נוסחה

מה אנחנו מנסים לראות?

לסווג שיווי משקל של מערכת לינארית דו־ממדית כמקור, בור, אוכף, ספירלה או מרכז, ולנבא את המסלולים מתוך העקבה, הדטרמיננטה והערכים העצמיים.

דיוקן פאזה הוא מפה של כל התנועות האפשריות במישור המצבים. הערכים העצמיים אומרים אם כל רכיב גדל, דועך או מסתובב, והווקטורים העצמיים מסמנים כיוונים שהזרימה אינה עוזבת.

לפני ההמחשה: קראו רק את הכותרת “ממיקום הערכים העצמיים לצורת המסלול”. מה לדעתכם ישתנה, מה יישאר קבוע, ואיזה סימן בתמונה יוכל להפריך את הניבוי?

לראות לפני שמחשבים · המקרה הפשוט ביותר

ממיקום הערכים העצמיים לצורת המסלול

עקבו מהצורה הראשונית אל התוצאה

ההמחשה משווה בור, מקור, אוכף, ספירלה ומרכז. ראשי החצים מסמנים את כיוון הזמן, ובכותרת כל ציור מופיע תנאי הסימן המתאים על הערכים העצמיים.

מה כדאי לגלות: שאלו בכל ציור שתי שאלות: האם המרחק מן הראשית גדל או קטן, והאם קיימים כיוונים ישרים שהמסלול נשאר עליהם?

אחרי שראינו

בסוף השיעור תוכלו

להמיר משוואה מסדר שני למערכת מצב מסדר ראשון ולזהות את מטריצת המערכת.
לחשב עקבה, דטרמיננטה ודיסקרימיננטה ולסווג בעזרתן שיווי משקל דו־ממדי.
לקשור בין ערכים ווקטורים עצמיים לבין כיוונים ישרים, דעיכה, גידול וסיבוב בדיוקן הפאזה.
לנבא יציבות והתנהגות לזמן ארוך בלי לפתור כל תנאי התחלה בנפרד.

נותנים שמות למה שראינו

מושגים שנשתמש בהם

וקטור מצב: וקטור שמרכז את המשתנים הדרושים לתיאור המערכת ברגע אחד, למשל x=(y,y′).
דיוקן פאזה: אוסף מסלולי המצב x(t) במישור, ללא שימוש בזמן כציר נפרד.
כפל מטריצה־וקטור: אם A=[[a,b],[c,d]] ו־x=(x₁,x₂), אז Ax=(ax₁+bx₂,cx₁+dx₂).
מטריצת היחידה I: המטריצה [[1,0],[0,1]], שאינה משנה וקטור בכפל; לכן A−λI מחסרת λ מאיברי האלכסון של A.
ערך עצמי: מספר λ שעבורו קיים כיוון q≠0 המקיים Aq=λq; לאורך כיוון זה העוצמה משתנה כמו e^(λt).
וקטור עצמי: כיוון q שאינו מסתובב תחת A אלא רק מוכפל ב־λ.
פולינום אופייני: המשוואה det(A−λI)=0 שערכיה הפותרים הם הערכים העצמיים של A.
עקבה: סכום איברי האלכסון T=tr(A); במטריצה 2×2 הוא גם λ₁+λ₂.
דטרמיננטה: המספר D=det(A)=λ₁λ₂; סימן שלילי מעיד על ערכים עצמיים ממשיים בסימנים מנוגדים.
יציבות אסימפטוטית: מצבים שמתחילים קרוב לשיווי המשקל נשארים קרובים ומתקרבים אליו כאשר t→∞.

מהמילים אל הסימנים

כותבים את הפעולה שכבר ראינו

פתחו את הנוסחה רק אחרי שאתם יכולים לומר במילים מה כל פעולה אמורה לעשות. בשלב הבא נצדיק אותה צעד אחר צעד.

להצגת נוסחת המפתח

קראו כל סימן כפעולה, לא כמשהו שצריך לשנןv′ = Av

מרכיבים את הפעולות

מהתמונה אל הנוסחה — הגזירה, בלי לדלג על הצעדים

עוברים למשוואת מצב
משוואה מסדר שני זקוקה לשני מספרים כדי לקבוע מצב: מיקום ומהירות. נסמן x₁=y ו־x₂=y′ ונקבל מערכת מסדר ראשון.
y″+By′+Cy=0 ⇒ x′=Ax, A=[[0,1],[−C,−B]]
קוראים את הכפל Ax רכיב אחר רכיב
השורה הראשונה של A נותנת את הנגזרת הראשונה והשורה השנייה את הנגזרת השנייה. כל רכיב הוא מכפלת שורה של A בעמודת המצב.
A=[[a,b],[c,d]], x=(x₁,x₂) ⇒ Ax=(ax₁+bx₂, cx₁+dx₂)
עוצרים לחשוב: למטריצת הליווי מתקבל Ax=(x₂,−Cx₁−Bx₂), בדיוק המערכת x₁′=x₂, x₂′=−Cx₁−Bx₂.
שיווי המשקל והמסלול
במערכת ההומוגנית הראשית היא שיווי משקל מפני ש־A·0=0. כל פתרון יוצר עקומה t↦x(t) במישור המצבים, והחץ בנקודה x הוא Ax.
x′=Ax, x=(y,y′)
מצב טהור הוא כיוון עצמי
ננסה מסלול שנשאר על ישר קבוע q ועוצמתו אקספוננציאלית. נדרש פתרון לא־אפס של (A−λI)q=0; הוא קיים רק כאשר הדטרמיננטה מתאפסת.
x=e^(λt)q ⇒ Aq=λq ⇒ det(A−λI)=0
עוצרים לחשוב: ב־2×2,‏ det([[p,q],[r,s]])=ps−qr. במטריצת ליווי q=(1,λ), כי הרכיב השני הוא y′=λy.
דוגמת יסוד: מוצאים גם את הכיוונים
עבור A=diag(1,−2), הפולינום הוא (1−λ)(−2−λ). ל־λ=1 פותרים (A−I)q=0 ומקבלים q₁=(1,0); ל־λ=−2 מקבלים q₂=(0,1).
x(t)=c₁eᵗ(1,0)+c₂e^(−2t)(0,1)
עוצרים לחשוב: הכיוון האופקי יוצא מן הראשית והאנכי נכנס אליה, ולכן זהו אוכף.
שלושה מספרים מרכזים את הסיווג
למטריצה 2×2 הערכים העצמיים הם שורשי הפולינום האופייני. העקבה קובעת את סכומם, הדטרמיננטה את מכפלתם והדיסקרימיננטה אם הם ממשיים או מרוכבים.
λ²−Tλ+D=0, T=tr(A), D=det(A), Δ=T²−4D
ערכים ממשיים: בור, מקור או אוכף
אם D<0, הערכים הממשיים בסימנים מנוגדים ונוצר אוכף. אם D>0 ו־Δ≥0, הם באותו סימן: T<0 נותן בור ו־T>0 מקור. כאשר Δ=0 יש ערך כפול, והצורה המדויקת תלויה במספר הווקטורים העצמיים.
D<0 ⇒ אוכף; D>0, Δ≥0 ⇒ sign(T) קובע בור או מקור
ערכים מרוכבים: ספירלה או מרכז
כאשר Δ<0 מתקבל זוג α±iβ. החלק המדומה יוצר סיבוב והחלק הממשי α=T/2 קובע אם הרדיוס דועך, גדל או נשאר קבוע.
T<0 ⇒ ספירלה פנימה; T>0 ⇒ ספירלה החוצה; T=0 ⇒ מרכז
המצב הדומיננטי בזמן ארוך
בצירוף של מצבים עצמיים, האיבר בעל החלק הממשי הגדול ביותר דועך הכי לאט או גדל הכי מהר. לכן מסלולים מתיישרים לעיתים קרובות עם הווקטור העצמי הדומיננטי.
x(t)=c₁e^(λ₁t)q₁+c₂e^(λ₂t)q₂

עכשיו רואים את השיטה בפעולה

דוגמה פתורה, צעד אחר צעד

דוגמה 1

המתנד המרוסן כמסלול מסתחרר

סווגו את הראשית עבור y″+y′+2y=0 וקבעו את כיוון הסיבוב בנקודה (y,y′)=(1,0).

מגדירים x=(y,y′), ולכן A=[[0,1],[−2,−1]].
מחשבים T=−1 ו־D=2.
הדיסקרימיננטה היא Δ=T²−4D=1−8=−7<0, ולכן הערכים העצמיים מרוכבים.
החלק הממשי הוא T/2=−1/2<0, ולכן הראשית היא ספירלה מושכת.
בנקודה (1,0), מתקבל x′=A(1,0)=(0,−2): החץ פונה מטה ולכן הסיבוב מתחיל עם כיוון השעון.

התוצאה ומה היא אומרת

כל פתרון מתנודד תוך דעיכת המשרעת ומתקרב לראשית בספירלה עם כיוון השעון.

λ=(−1±i√7)/2

איפה זה פוגש את העולם

יישום

מתנד מרוסן y″+By′+Cy=0 הופך למערכת עבור v=(y,y′). למשל B=1 ו־C=2 נותנים T=−1,‏ D=2 ו־Δ=−7, ולכן כל תנודה מסתחררת אל שיווי המשקל.

מלכודת נפוצה

מה כדאי לבדוק

לא די להסתכל על הדטרמיננטה או על היות הערכים העצמיים מרוכבים. ליציבות אסימפטוטית נדרש חלק ממשי שלילי; ערכים ±i מתארים מרכז לינארי בעל יציבות ניטרלית, ו־D=0 דורש בדיקה נפרדת.

בודקים שהרעיון יושב

תרגול ומשוב

בדיקת הבנה

בחרו תשובה ורק אז בדקו את עצמכם

למערכת עם T=1,‏ D=−2 ו־Δ=9, איזה שיווי משקל מתקבל?

אוכףספירלה יוצאתבור

בחרו אחת מהאפשרויות כדי להמשיך.

עכשיו אתם

אתגר קצר

למערכת שמתקבלת מ־y″+By′+y=0, סווגו את הראשית עבור B∈{−3,−2,−1,0,1,2,3}. מצאו את ערכי המעבר והסבירו מה מיוחד ב־B=±2.

רמז ראשון

כאן T=−B,‏ D=1 ו־Δ=B²−4. השתמשו קודם בסימן Δ ולאחר מכן בסימן T.

הצגת דרך הפתרון

B=−3: שני ערכים חיוביים שונים ולכן מקור; B=−2: ערך כפול λ=1 ולכן מקור מנוון.
B=−1: זוג מרוכב עם חלק ממשי חיובי ולכן ספירלה יוצאת.
B=0: הערכים ±i ולכן מרכז בעל יציבות ניטרלית.
B=1: זוג מרוכב עם חלק ממשי שלילי ולכן ספירלה נכנסת.
B=2: ערך כפול λ=−1 ולכן בור מנוון; B=3: שני ערכים שליליים שונים ולכן בור.
ב־B=±2 הדיסקרימיננטה מתאפסת וזהו המעבר בין צומת לספירלה. מטריצת הליווי פגומה שם, ולכן לצד e^(λt) מופיע גם האיבר t·e^(λt).

מימוש הנושא

קוד שאפשר לקחת לניסוי

הקוד מיישם את אותו רעיון מתמטי. ב־JavaScript אפשר להריץ אותו כאן; גרסת Python זמינה להשוואה ולהעתקה.

הקשר למתמטיקה

classify2x2 מחשבת את שלושת המספרים T, D ו־Δ ומיישמת עליהם את עץ ההחלטה של השיעור.

פלט צפוי

עבור [[0,1],[−2,−1]] יודפס trace=−1,‏ det=2,‏ delta=−7 והסוג spiral sink.

ניסוי המשך

שנו את מקדם הריסון, כלומר את האיבר A[1][1], מ־−1 ל־0 ואז ל־1. עקבו אחר המעבר מ־spiral sink דרך center ל־spiral source.

מהרעיון אל הקוד

מימוש חישובי

function classify2x2(A, tolerance=1e-12) {
  const trace = A[0][0] + A[1][1];
  const det = A[0][0]*A[1][1] - A[0][1]*A[1][0];
  const delta = trace**2 - 4*det;

  if (Math.abs(det) < tolerance) return { trace, det, delta, type: "degenerate" };
  if (det < 0) return { trace, det, delta, type: "saddle" };
  if (delta < 0) {
    const type = trace < 0 ? "spiral sink"
      : trace > 0 ? "spiral source" : "center";
    return { trace, det, delta, type };
  }
  const type = trace < 0 ? "sink" : trace > 0 ? "source" : "degenerate";
  return { trace, det, delta, type };
}

const oscillatorMatrix = [[0, 1], [-2, -1]];
console.log(classify2x2(oscillatorMatrix));

def classify_2x2(A, tolerance=1e-12):
    trace = A[0][0] + A[1][1]
    det = A[0][0]*A[1][1] - A[0][1]*A[1][0]
    delta = trace**2 - 4*det

    if abs(det) < tolerance:
        kind = "degenerate"
    elif det < 0:
        kind = "saddle"
    elif delta < 0:
        kind = ("spiral sink" if trace < 0 else
                "spiral source" if trace > 0 else "center")
    else:
        kind = "sink" if trace < 0 else "source" if trace > 0 else "degenerate"
    return {"trace": trace, "det": det, "delta": delta, "type": kind}

oscillator_matrix = [[0, 1], [-2, -1]]
print(classify_2x2(oscillator_matrix))

לפני שממשיכים

מה לוקחים מהשיעור

משוואה מסדר שני נעשית מערכת במישור (y,y′).
עקבה, דטרמיננטה ודיסקרימיננטה מספיקות לסיווג הגנרי של מערכת לינארית 2×2.
וקטורים עצמיים נותנים מסלולים ישרים; ערכים עצמיים קובעים גידול, דעיכה וסיבוב.
יציבות אסימפטוטית דורשת חלק ממשי שלילי לכל הערכים העצמיים.

משימת מעבדה לשיעור הזה

תחנה 2 — מאפיינים את הזרימה

בחרו מטריצת מקור, בור, אוכף, ספירלה או מרכז; חשבו את העקבה והדטרמיננטה, נבאו את הסוג ואז בדקו את המסלולים.

לפתיחת התחנה

מקורות להעמקה בלבד — השיעור עומד בפני עצמו

מדריך המרצים: עמ׳ 83–87

ספר הלימוד: עמ׳ 161–169

מה אנחנו מנסים לראות?

ממיקום הערכים העצמיים לצורת המסלול

בסוף השיעור תוכלו

מושגים שנשתמש בהם

כותבים את הפעולה שכבר ראינו

מהתמונה אל הנוסחה — הגזירה, בלי לדלג על הצעדים

עוברים למשוואת מצב

קוראים את הכפל Ax רכיב אחר רכיב

שיווי המשקל והמסלול

מצב טהור הוא כיוון עצמי

דוגמת יסוד: מוצאים גם את הכיוונים

שלושה מספרים מרכזים את הסיווג

ערכים ממשיים: בור, מקור או אוכף

ערכים מרוכבים: ספירלה או מרכז

המצב הדומיננטי בזמן ארוך