משוואות מסדר ראשון

הפרדה ומשוואות מדויקות

Separable and Exact Equations

לומדים לזהות שתי משפחות פתירות, לשמור פתרונות מיוחדים ולבנות פונקציית פוטנציאל צעד אחר צעד.

יחידת לימוד עצמאיתשיעור 8 מתוך 8כ־60 דקות כולל תרגול3 מטרות למידה

1
נקודת פתיחהמה כבר ידוע ומה השאלה?
2
ניבוימה יקרה במקרה הפשוט?
3
המחשהמה באמת משתנה בתמונה?
4
ניסוח והצדקהשם, נוסחה ולמה היא נכונה
5
בדיקהדוגמה, תרגול ומשוב
6
העברהמקרה חדש והמשך המסלול

שאלה לפני נוסחה

מה אנחנו מנסים לראות?

לזהות ולפתור משוואות ניתנות להפרדה ומשוואות מדויקות, תוך שמירה על פתרונות מיוחדים ובנייה שיטתית של פונקציית פוטנציאל.

הפרדה אוספת כל משתנה בצד שלו. משוואה מדויקת מחפשת מפה F(t,y) שהפתרון נע לאורך אחת מעקומות הגובה שלה. בשני המקרים הופכים חוק שיפוע לקשר אינטגרלי.

לפני ההמחשה: קראו רק את הכותרת “פתרון מפורש מול עקומת גובה”. מה לדעתכם ישתנה, מה יישאר קבוע, ואיזה סימן בתמונה יוכל להפריך את הניבוי?

לראות לפני שמחשבים · המקרה הפשוט ביותר

פתרון מפורש מול עקומת גובה

עקבו מהצורה הראשונית אל התוצאה

משמאל פתרון נפרד שמתבדר ב־t=2; מימין כל מעגל הוא ערך קבוע אחר של F(t,y)=t²+y².

מה כדאי לגלות: השוו את שתי השיטות: היכן תחום הפתרון מגביל את הגרף, ומדוע תנועה משיקה למעגל משאירה את F קבועה?

אחרי שראינו

בסוף השיעור תוכלו

לזהות מבנה נפרד y′=g(t)f(y) ולפתור אותו בלי לאבד שיווי משקל.
להמיר משוואה לצורה Mdt+Ndy=0 ולבדוק אם היא משוואה מדויקת.
לבנות F כך ש־Fₜ=M ו־Fᵧ=N ולהשתמש בתנאי התחלה לקביעת עקומת הרמה.

נותנים שמות למה שראינו

מושגים שנשתמש בהם

הפרדת משתנים: סידור משוואה כך שכל ביטויי y עם dy בצד אחד וכל ביטויי t עם dt בצד האחר.
משוואה מדויקת (exact): משוואה Mdt+Ndy=0 שהיא הדיפרנציאל הכולל dF של פונקציה אחת.
נגזרת חלקית: נגזרת לפי משתנה אחד כאשר המשתנה האחר מוחזק קבוע.
פוטנציאל F: פונקציה שמקיימת Fₜ=M ו־Fᵧ=N; הפתרונות נמצאים על F(t,y)=C.
פתרון מובלע: קשר F(t,y)=C שמגדיר את y גם אם לא בודדנו אותה כנוסחה מפורשת.

מהמילים אל הסימנים

כותבים את הפעולה שכבר ראינו

פתחו את הנוסחה רק אחרי שאתם יכולים לומר במילים מה כל פעולה אמורה לעשות. בשלב הבא נצדיק אותה צעד אחר צעד.

להצגת נוסחת המפתח

קראו כל סימן כפעולה, לא כמשהו שצריך לשנן∫dy/f(y) = ∫g(t)dt או F(t,y)=C

מרכיבים את הפעולות

מהתמונה אל הנוסחה — הגזירה, בלי לדלג על הצעדים

בוחרים שיטה לפני שמחשבים
אם אגף ימין מתפרק למכפלה g(t)f(y), מפרידים. אחרת עוברים ל־Mdt+Ndy=0 ובודקים exactness. אם שתי הבדיקות נכשלות, נדרשת שיטה אחרת.
separable? → exact? → neither
עוצרים לחשוב: למשל (t+y²)dt+ty·dy=0 אינה מדויקת כי Mᵧ=2y ו־Nₜ=y, וגם אינה נפרדת בצורה ישירה.
אלגוריתם ההפרדה
אם y′=g(t)f(y), רושמים קודם כל שורש של f כפתרון קבוע. רק עבור פתרונות אחרים מחלקים ב־f(y) ומבצעים אינטגרציה.
∫ dy/f(y) = ∫ g(t)dt
עוברים לצורה דיפרנציאלית
מן y′=P(t,y) אפשר לכתוב dy−P(t,y)dt=0. באופן כללי מסמנים את מקדמי dt ו־dy באותיות M ו־N.
M(t,y)dt + N(t,y)dy = 0
בודקים אם המשוואה מדויקת
אם הביטוי הוא dF, סדר הגזירה אינו משנה: נגזרת M לפי y שווה לנגזרת N לפי t. בתחום רגיל ללא חורים זה גם תנאי מספיק.
∂M/∂y = ∂N/∂t
בונים את F מן M
מחשבים אינטגרל של M לפי t, כאשר y נחשב קבוע. קבוע האינטגרציה עשוי להיות פונקציה g(y), כי נגזרתו לפי t היא אפס.
F(t,y)=∫M(t,y)dt + g(y)
משלימים בעזרת N
גוזרים את F שקיבלנו לפי y ומשווים ל־N. ההשוואה קובעת את g′(y); אינטגרציה נוספת קובעת את g.
Fᵧ=N ⇒ solve for g'(y)
קובעים את עקומת הפתרון
לאורך פתרון מתקיים dF=0, ולכן F קבועה. תנאי התחלה (t₀,y₀) נותן את הערך C=F(t₀,y₀).
F(t,y)=C, C=F(t₀,y₀)

עכשיו רואים את השיטה בפעולה

דוגמאות פתורות, צעד אחר צעד

דוגמה 1

הפרדת משתנים ושמירת פתרון מיוחד

פתרו y′=y², y(0)=1/2.

לפני החלוקה רושמים y=0 כפתרון קבוע של המשוואה, אף שאינו מקיים את תנאי ההתחלה הנתון.
לפתרון הלא־אפס: dy/y²=dt. אינטגרציה נותנת −1/y=t+C.
מן התנאי y(0)=1/2 מתקבל C=−2, ולכן −1/y=t−2.
מבודדים: y=1/(2−t). התחום המרבי המכיל את t=0 הוא t<2; ב־t=2 הפתרון מתבדר.

התוצאה ומה היא אומרת

הפתרון מקיים גם את תנאי ההתחלה וגם y′=y², והוא מוגדר רק עד זמן הפיצוץ t=2.

y(t)=1/(2−t), t<2

דוגמה 2

בנייה מלאה של פוטנציאל exact

פתרו (2ty+3)dt+(t²+4y)dy=0 עם y(0)=1.

M=2ty+3 ו־N=t²+4y. נגזרות חלקיות: Mᵧ=2t וגם Nₜ=2t, ולכן המשוואה מדויקת.
מאינטגרל של M לפי t נקבל F=t²y+3t+g(y).
גוזרים לפי y: Fᵧ=t²+g′(y). משווים ל־N=t²+4y ומקבלים g′=4y, ולכן g=2y².
תנאי ההתחלה נותן C=F(0,1)=2. הפתרון המובלע הוא t²y+3t+2y²=2.

התוצאה ומה היא אומרת

בנינו את F ולא רק בדקנו exactness; תנאי ההתחלה בוחר את עקומת הרמה C=2.

F(t,y)=t²y+3t+2y²=2

איפה זה פוגש את העולם

יישום

משוואות נפרדות מופיעות בקינטיקה ובגידול; משוואות מדויקות מתארות קווי גובה, פוטנציאלים ושימור של גודל לאורך מסלול.

מלכודת נפוצה

מה כדאי לבדוק

לחלק ב־f(y) לפני שרושמים את השורשים שלה. כך נעלמים בדיוק פתרונות שיווי המשקל; בנוסף, equality של נגזרות חלקיות צריך להיבדק ולא להניח מראש.

בודקים שהרעיון יושב

תרגול ומשוב

בדיקת הבנה

בחרו תשובה ורק אז בדקו את עצמכם

האם (2ty+1)dt+(t²+3y²)dy=0 מדויקת?

כן, כי Mᵧ=Nₜ=2tלא, כי M≠Nכן, כי כל משוואה ניתנת להפרדה

בחרו אחת מהאפשרויות כדי להמשיך.

עכשיו אתם

אתגר קצר

פתרו y′=t y² עם y(0)=1. רשמו תחילה את הפתרון הקבוע, מצאו את הפתרון של תנאי ההתחלה וקבעו את התחום המרבי שלו.

רמז ראשון

רשמו y=0 לפני החלוקה. עבור הפתרון האחר הפרידו dy/y²=t dt והשתמשו בתנאי ההתחלה.

הצגת דרך הפתרון

הגורם y² מתאפס ב־y=0, ולכן y(t)=0 הוא פתרון קבוע שהיה נעלם בחלוקה.
לפתרון הלא־אפס: ∫y⁻²dy=∫t dt, ולכן −1/y=t²/2+C. מן התנאי y(0)=1 מתקבל C=−1.
מבודדים: y=1/(1−t²/2). המכנה מתאפס ב־t=±√2, ולכן התחום המרבי המכיל את 0 הוא (−√2,√2).

מימוש הנושא

קוד שאפשר לקחת לניסוי

הקוד מיישם את אותו רעיון מתמטי. ב־JavaScript אפשר להריץ אותו כאן; גרסת Python זמינה להשוואה ולהעתקה.

הקשר למתמטיקה

הקוד בודק את תנאי exactness מספרית ואז מאמת ש־Fₜ=M ו־Fᵧ=N באותה נקודה.

פלט צפוי

בכל אחת משלוש השורות יודפס זוג מספרים כמעט זהים; פער זעיר נובע מקירוב הנגזרת.

ניסוי המשך

שנו את N ל־t²+5y בלי לשנות את F. איזו מן הבדיקות נכשלת, ומה זה אומר על הפוטנציאל?

מהרעיון אל הקוד

מימוש חישובי

const M = (t, y) => 2 * t * y + 3;
const N = (t, y) => t ** 2 + 4 * y;
const F = (t, y) => t ** 2 * y + 3 * t + 2 * y ** 2;

function partial(fn, t, y, variable, h = 1e-5) {
  return variable === "t"
    ? (fn(t + h, y) - fn(t - h, y)) / (2 * h)
    : (fn(t, y + h) - fn(t, y - h)) / (2 * h);
}

const point = { t: 0.7, y: 1.2 };
console.log(partial(M, point.t, point.y, "y"), partial(N, point.t, point.y, "t"));
console.log(partial(F, point.t, point.y, "t"), M(point.t, point.y));
console.log(partial(F, point.t, point.y, "y"), N(point.t, point.y));

def M(t, y): return 2*t*y + 3
def N(t, y): return t*t + 4*y
def F(t, y): return t*t*y + 3*t + 2*y*y

def partial(fn, t, y, variable, h=1e-5):
    if variable == "t":
        return (fn(t+h, y)-fn(t-h, y))/(2*h)
    return (fn(t, y+h)-fn(t, y-h))/(2*h)

t, y = 0.7, 1.2
print(partial(M, t, y, "y"), partial(N, t, y, "t"))
print(partial(F, t, y, "t"), M(t, y))
print(partial(F, t, y, "y"), N(t, y))

לפני שממשיכים

מה לוקחים מהשיעור

לפני חלוקה ב־f(y), רושמים כל שורש שלה כפתרון קבוע אפשרי.
משוואה מדויקת נבדקת בעזרת ∂M/∂y=∂N/∂t.
את הפוטנציאל בונים באינטגרציה אחת ובהתאמת פונקציה חסרה במשתנה השני.
פתרון מובלע F(t,y)=C הוא פתרון מלא גם בלי בידוד מפורש של y.

משימת מעבדה לשיעור הזה

תחנה 4 — בחירת שיטה

סווגו דוגמאות כנפרדות, מדויקות או אף אחת מהן; בדקו exactness ובנו את פונקציית F כאשר אפשר.

לפתיחת התחנה

מקורות להעמקה בלבד — השיעור עומד בפני עצמו

מדריך המרצים: עמ׳ 32–39

ספר הלימוד: עמ׳ 65–72