01

קצב ושינוי

משוואות מסדר ראשון

First Order Equations

מתחילים מהרעיון הפשוט ביותר: הנגזרת מספרת לנו לאן המערכת נעה עכשיו. משם נבנה גידול מעריכי, תגובה למקור, תנודות והמשוואה הלוגיסטית.

מפת הפרק

8 תחנות בדרך

8 יחידות לימוד עצמאיות · כ־6 שעות ו־20 דקות לשיעורים ולתרגול

  1. 1.1
    יחידת לימוד35 דקות

    לינארי מול לא־לינארי

    שאלה 1: מה ננסה להבין?

    לומדים לקרוא משוואה דיפרנציאלית כחוק קצב, ולזהות מתי עקרון הסופרפוזיציה תקף.

    לשיעור
  2. 1.2
    יחידת לימוד45 דקות

    החשבון הדיפרנציאלי הדרוש

    שאלה 2: מה ננסה להבין?

    בונים את ארגז הכלים של הפרק: נגזרות, קדומות, אינטגרלים, כלל השרשרת, אקספוננט ולוגריתם.

    לשיעור
  3. 1.3
    יחידת לימוד40 דקות

    המנוע המעריכי

    שאלה 3: מה ננסה להבין?

    הפתרון של קצב שינוי היחסי לגודל הנוכחי, זמן הכפלה ושיעור המשתנה בזמן.

    לשיעור
  4. 1.4
    יחידת לימוד55 דקות

    פתרון פרטי ותגובה למקור

    שאלה 4: מה ננסה להבין?

    מפרידים בין תגובת תנאי ההתחלה לבין תגובת forcing: קבוע, מדרגה, הלם או מקור מעריכי.

    לשיעור
  5. 1.5
    יחידת לימוד50 דקות

    סינוסים ממשיים ומרוכבים

    שאלה 5: מה ננסה להבין?

    מייצגים משרעת ופאזה בווקטור מרוכב ומבינים תגובה מחזורית של מערכת.

    לשיעור
  6. 1.6
    יחידת לימוד40 דקות

    מודלים של גידול ודעיכה

    שאלה 6: מה ננסה להבין?

    מחברים שיעור משתנה ומקור חיצוני למודל אחד ובודקים גם את היחידות.

    לשיעור
  7. 1.7
    יחידת לימוד55 דקות

    המשוואה הלוגיסטית

    שאלה 7: מה ננסה להבין?

    גידול שמאט ליד קיבולת הנשיאה, יציבות, קציר ושינוי במספר שיווי המשקל.

    לשיעור
  8. 1.8
    יחידת לימוד60 דקות

    הפרדה ומשוואות מדויקות

    שאלה 8: מה ננסה להבין?

    לומדים לזהות שתי משפחות פתירות, לשמור פתרונות מיוחדים ולבנות פונקציית פוטנציאל צעד אחר צעד.

    לשיעור

ביד, שלב אחר שלב

אוכלוסייה עם תקרת משאבים

פתרו y′ = 0.4y(1−y/100), כאשר y(0)=10.

  1. 1

    מזהים קצב גידול a=0.4 וקיבולת נשיאה K=100.

  2. 2

    מפרידים משתנים ומקבלים ln(y/(K−y)) = at + C.

  3. 3

    מתנאי ההתחלה מתקבל (K/y₀)−1 = 9.

  4. 4

    מציבים מחדש ומקבלים עקומת S שמתקרבת ל־100 בלי לעבור אותה.

תוצאהy(t) = 100 / (1 + 9e⁻⁰·⁴ᵗ)

ניבוי, ניסוי והסבר

מעבדת חקר: מחוק שינוי לפתרון

התחילו מתחנה אחת, נבאו את התוצאה ורק אז שנו פרמטר. בכל תחנה תקבלו משוב וקישור לשיעור שעליו היא בנויה.

פרק 1 · ארבע תחנות חקר

מחוק שינוי מקומי לפתרון שלם

נבאו, בדקו והסבירו: לינאריות, תגובה למקור, גידול לוגיסטי ובחירת שיטת פתרון.

המעבדה בנויה כמסלול חקר: בכל תחנה מנבאים, משנים לכל היותר שלושה פרמטרים, מסבירים את התצפית ובודקים הבנה.

תחנה 1 מתוך 4

איך חוק מקומי יוצר מסלול?

המטרה
לחבר בין סימן הנגזרת לבין צורת הפתרון, ולראות מדוע מגבלת K יוצרת חוק לא־לינארי.
המשימה
נבאו את הכיוון הלוגיסטי, בדקו P₀ מתחת ל־K, בדיוק ב־K ומעליו, והשוו למודל המעריכי.

ניבוי

לפי הערכים הנוכחיים, לאיזה כיוון ינוע הפתרון הלוגיסטי?
השוואה בין פתרון מעריכי לפתרון לוגיסטי. העקומה הלוגיסטית עולה לעבר K. העקומה המעריכית חוצה את גבול התרשים בזמן 4.58; היא אינה משנה את קנה המידה.
  • מעריכי: P′=rP
  • לוגיסטי: P′=rP(1−P/K)
  • קיבולת K
העקומה הלוגיסטית עולה לעבר K. העקומה המעריכית חוצה את גבול התרשים בזמן 4.58; היא אינה משנה את קנה המידה.
20
0.4
100
P′exp=rP   |   P′log=rP(1−P/K)
P′log(0)
6.4
Pexp(10)
1092.0
Plog(10)
93.2

העקומה הלוגיסטית עולה לעבר K. העקומה המעריכית חוצה את גבול התרשים בזמן 4.58; היא אינה משנה את קנה המידה.

בדיקת הבנה

איזה חוק הוא לינארי בפונקציה P?

עכשיו בקוד

אותו רעיון, כאלגוריתם

הקוד קצר בכוונה: כל שורה מקבילה לצעד בחישוב הידני.

מהרעיון אל הקוד

מימוש חישובי

function logistic(t, y0 = 10, rate = 0.4, capacity = 100) {
  const ratio = capacity / y0 - 1;
  return capacity / (1 + ratio * Math.exp(-rate * t));
}

const samples = Array.from({ length: 101 }, (_, i) => {
  const t = i / 10;
  return { t, y: logistic(t) };
});

console.table(samples.filter((_, index) => index % 25 === 0));

בדיקת שליטה מצטברת

האם כל פרק 1 יושב במקום?

שמונה שאלות קצרות בודקות את כל מסלול הפרק. לאחר הבדיקה תקבלו הסבר וקישור מדויק לשיעור שכדאי לחזור אליו.

0 מתוך 8 נענו0/8
  1. איזו משוואה לינארית ב־y?
  2. מהי הנגזרת של e^(t²)?
  3. פתרון חיובי של y′=−0.3y מתנהג כיצד?
  4. מהו המבנה הכללי של פתרון y′=ay+q(t)?
  5. כאשר a<0 והמקור הוא cos(ωt), מה נשאר לאחר שתגובת המעבר דועכת?
  6. ללא מקור, מהו גורם המעבר של y′=a(t)y מזמן s לזמן t?
  7. במודל לוגיסטי עם קציר, מה קורה כאשר H>aK/4?
  8. מה בודקים כדי לזהות משוואה מדויקת Mdt+Ndy=0?

יש לענות על כל השאלות לפני הבדיקה.

מקורות להעמקה בלבד — הפרק באתר עומד בפני עצמו

מדריך המרצים: עמ׳ 2–39. הפניות מדויקות לספר מופיעות בתחתית כל שיעור.