פרק 8: התמרות פורייה ולפלס

מפת הפרק

6 תחנות בדרך

6 יחידות לימוד עצמאיות · כ־7 שעות ו־20 דקות לשיעורים ולתרגול

8.1
יחידת לימוד75 דקות
טורי פורייה ואורתוגונליות
שאלה 1: מה ננסה להבין?
מקרינים פונקציה מחזורית על סינוסים וקוסינוסים. הסימטריה קובעת אילו מקדמים נעלמים, קצב דעיכת המקדמים חושף את החלקות, ו־Parseval מחלק את האנרגיה בין התדרים.
לשיעור
8.2
יחידת לימוד75 דקות
DFT והתמרת פורייה המהירה
שאלה 2: מה ננסה להבין?
ה־DFT מחליף N דגימות ב־N מקדמי תדר. פיצול למיקומים זוגיים ואי־זוגיים ממחזר חישובים ומוריד את העלות מ־N² ל־N log₂N.
לשיעור
8.3
יחידת לימוד70 דקות
משוואת החום והחלקה ספקטרלית
שאלה 3: מה ננסה להבין?
פירוק לסינוסים הופך את משוואת החום למשוואה נפרדת לכל תדר. מצב n דועך כמו e^(−κn²t), ולכן תנודות מהירות נעלמות ראשונות.
לשיעור
8.4
יחידת לימוד70 דקות
משוואת הגל ואופני תנודה
שאלה 4: מה ננסה להבין?
אותם מצבים מרחביים של המיתר אינם דועכים אלא מתנודדים בתדר cn. תנאי ההתחלה קובעים את המשרעת והפאזה של כל אופן, והאנרגיה הכוללת נשמרת.
לשיעור
8.5
יחידת לימוד75 דקות
התמרת לפלס, קטבים ותנאי התחלה
שאלה 5: מה ננסה להבין?
לפלס אורז תנאי התחלה בתוך התמרת הנגזרות והופך משוואה בזמן למשוואה אלגברית ב־s. קטבי פונקציית התמסורת חושפים את מצבי המערכת.
לשיעור
8.6
יחידת לימוד75 דקות
קונבולוציה ותגובת מערכת
שאלה 6: מה ננסה להבין?
קונבולוציה מחברת כל חלק מן הקלט להעתק מוזז של תגובת ההלם. במרחב התדר היא הופכת לכפל, ובדגימות מחזוריות היא מיוצגת על ידי מטריצה circulant.
לשיעור

ביד, שלב אחר שלב

דוגמת עוגן: לבנות קפיצה מגלים חלקים

בנו את שלושת האיברים הראשונים של טור פורייה לגל הריבועי f(x)=sign(sin x), והסבירו מה קורה בנקודות הקפיצה.

1
הפונקציה מחזורית ואי־זוגית, לכן a₀=0 וכל מקדמי הקוסינוס aₙ שווים לאפס.
2
מחשבים bₙ=(1/π)∫₋π^π f(x)sin(nx)dx. מכפלת שתי פונקציות אי־זוגיות היא זוגית, ולכן אפשר להכפיל את האינטגרל מ־0 עד π פי 2.
3
בקטע 0<x<π מתקיים f(x)=1, ולכן bₙ=(2/π)∫₀^π sin(nx)dx=2(1−(−1)ⁿ)/(πn).
4
עבור n זוגי מתקבל bₙ=0; עבור n אי־זוגי מתקבל bₙ=4/(πn).
5
שלושת התדרים הלא־אפס הראשונים הם 1,3,5, ולכן S₃(x)=4/π[sin x+sin(3x)/3+sin(5x)/5].
6
בכל נקודת רציפות Sₙ מתקרב ל־f. בנקודת קפיצה הטור מתכנס לממוצע של הגבול משמאל ומימין, כאן 0.
7
ה־overshoot סמוך לקפיצה אינו נעלם בגובהו היחסי כשמוסיפים איברים; הוא רק נדחס לאזור צר יותר. זוהי תופעת גיבס.

תוצאהS₃(x)=4/π[sin x+sin(3x)/3+sin(5x)/5]; בקפיצות Sₙ→0

ניבוי, ניסוי והסבר

מעבדת חקר: מסינתזת פורייה ו־FFT אל התפתחות מצבים, לפלס וקונבולוציה

התחילו מתחנה אחת, נבאו את התוצאה ורק אז שנו פרמטר. בכל תחנה תקבלו משוב וקישור לשיעור שעליו היא בנויה.

נבאו, בדקו והסבירו: סינתזת פורייה, DFT ו־FFT, התפתחות חום וגלים, ולפלס וקונבולוציה.

המעבדה עוקבת אחרי אותו מהלך בארבע הופעות: מפרקים לתדרים, מחשבים אותם ביעילות, מפתחים כל מצב בזמן, ואז מחברים קלט עם תגובת מערכת. בכל תחנה מנבאים לפני שינוי הפרמטר.

תחנה 1 מתוך 4

כיצד גלים חלקים בונים קצה חד?

המטרה: לקשור בין אורתוגונליות, סימטריה, דעיכת מקדמים ואיכות השחזור.
המשימה: נבאו היכן תישאר השגיאה, בחרו צורה והוסיפו תדרים תוך מעקב אחר המקדם האחרון.

צורה מחזורית

מספר איברים לא־אפס3

f≈Σ bₙ sin(nx)
bₙ=(1/π)∫₋π^π f(x)sin(nx)dx

תדר אחרון: n=5
מקדם אחרון: 0.25465
שגיאה ליד π: 0.5543
זוגיות: אי־זוגית

3 איברים; התדר האחרון 5 ומקדם הסינוס שלו 0.2546.

עכשיו בקוד

אותו רעיון, כאלגוריתם

הקוד קצר בכוונה: כל שורה מקבילה לצעד בחישוב הידני.

מהרעיון אל הקוד

מימוש חישובי

function squareWaveApprox(x, harmonics=3) {
  let sum = 0;
  for(let k=0;k<harmonics;k++) {
    const n=2*k+1;
    sum+=Math.sin(n*x)/n;
  }
  return 4*sum/Math.PI;
}

for(const x of [0,Math.PI/6,Math.PI/2,Math.PI-0.1]) {
  console.log(x,squareWaveApprox(x,3));
}

from math import pi, sin

def square_wave_approx(x, harmonics=3):
    total=0.0
    for k in range(harmonics):
        n=2*k+1
        total+=sin(n*x)/n
    return 4*total/pi

for x in [0,pi/6,pi/2,pi-0.1]:
    print(x,square_wave_approx(x,3))

התמרות פורייה ולפלס

6 תחנות בדרך

טורי פורייה ואורתוגונליות

DFT והתמרת פורייה המהירה

משוואת החום והחלקה ספקטרלית

משוואת הגל ואופני תנודה

התמרת לפלס, קטבים ותנאי התחלה

קונבולוציה ותגובת מערכת